Opravovatelia

Miloš [email protected]

Vašino [email protected]

Keďže bod $E$ je stredom strany $AB$ a $BCDE$ je štvorec, musí byť trojuholník $DAE$ rovnoramenný. Nakoľko je uhol pri bode $E$ pravý, musia mať ostatné uhly v trojuholníku $DAE$ $45^\circ$. Vďaka rovnobežnosti $EB$ a $DC$ taktiež vieme povedať, že aj trojuholník $IDF$ musí mať uhly pri základni veľkosti $45^\circ$, a teda je taktiež rovnoramenný.

Teraz by nás mohlo zaujímať, aká dlhá je strana štvorca $FGHI$ v porovnaní s $BCDE$. Keďže bod $C$ je stredom strany $FG$, úsečka $FC$ je polovicou zo strany štvorca $FGHI$. Avšak z rovnostrannosti $IDF$ vyplýva, že $|DF| = |FI|$, a teda $|DC| = |IF| + |CF|$, čiže strana veľkého štvorca je rovnako dlhá ako $\frac32$ strany malého štvorca (alebo naopak, strana malého štvorca je $\frac23$ z veľkého).

Všimnime si, že trojuholníky $ABJ$ a $DGJ$ sú si podobné, nakoľko majú rovnaké uhly. Vieme, že strana $AB$ je dvakrát tak dlhá ako úsečka $EB$ a zistili sme, že strana $DG$ je $\frac43$ z dĺžky $EB$. Tým pádom vieme aj určiť koeficient podobnosti týchto dvoch trojuholníkov, a to je $\frac{4/3}{2} = \frac23$. Na tento koeficient sme mohli prísť aj uvedomením, že musí byť rovnaký s koeficientom podobnosti štvorcov $BCDE$ a $FGHI$, nakoľko bod $F$ je takisto stredom strany $DG$, rovnako ako bod $E$ na strane $AB$, a body $I$ a $G$ sa taktiež dotýkajú strán trojuholníka.

Pri koeficientoch podobnosti platí, že obsah podobných útvarov sa zväčšuje/zmenšuje s druhou mocninou koeficientu. Pre trojuholník si to vieme dokázať pomocou vzorca pre výpočet obsahu $S=a\cdot v_a$. Ak máme dva trojuholníky s koeficientom podobnosti $k$, potom musí byť strana a výška druhého trojuholníka rovná $ka$, resp. $kv_a$, a jeho obsah je $ka\cdot kv_a = k^2av_a$, čo je práve $k^2$ krát obsah prvého trojuholníka. Tento vzťah platí aj vo všeobecnosti pre všetky útvary, a analogicky sa taktiež pri priestorových telesách objem škáluje s treťou mocninou koeficientu podobnosti. My vieme tento fakt využiť na výpočet obsahu $DGJ$, ktorý tým pádom tvorí $\left(\frac23\right)^2 = \frac49$ z obsahu $ABJ$.

Nakoniec si musíme dopočítať obsah trojuholníkov $DAE$ a $BGC$. Vďaka rovnostrannosti $DAE$ vieme, že musí mať polovicu z obsahu $BCDE$, a keďže $CG$ je $\frac13$ z $EB$, musí mať $BGC$ obsah $\frac16$ z $BCDE$.

Zostáva nám už len všetky tieto obsahy sčítať a vyjadriť si z nich obsah $BCDE$ relatívne k $ABJ$.

$$\begin{align} S_{\triangle ABJ} &= S_{\triangle AED} + S_{\square BCDE} + S_{\triangle BGC} + S_{\triangle DGJ},\ S_{\triangle ABJ} &= \left(\frac12 + 1 + \frac16\right)\ S_{\square BCDE} + \frac49\ S_{\triangle ABJ},\ \frac59\ S_{\triangle ABJ} &= \frac53\ S_{\square BCDE},\ \frac13\ S_{\triangle ABJ} &= S_{\square BCDE}.\end{align}$$

Štvorec $BCDE$ tvorí tretinu z obsahu trojuholníka $ABJ$.