Opravovatelia

Kopy [email protected]

Lukáš [email protected]

Skúsme nájsť tabuľku $7 \times 3$ takú, že tam nebudú štyri políčka rovnakej farby, ktoré tvoria tvoria obdĺžnik.

Každé z troch políčok stĺpca môže byť ofarbené dvoma rôznymi farbami, a teda existuje $2^3=8$ možností, ako môžu byť ofarbené jednotlivé stĺpce. V každom takomto ofarbení sú aspoň dve políčka rovnakej farby. Ak by dva zo stĺpcov boli ofarbené rovnako, tak by sa z políčok farby, čo v týchto stĺpcoch prevažuje, dal vytvoriť obdĺžnik. Tým pádom náš hľadaný obdĺžnik musí mať všetky stĺpce rôzne.

Keďže stĺpcov je $7$ a rôznych ofarbení stĺpca je $8$, tak z $8$ rôznych ofarbení stĺpcov využijeme práve $7$, a teda existuje aspoň jeden stĺpec, pre ktorý platí, že sú všetky jeho políčka ofarbené rovnakou farbou. Označme túto farbu $F$.

Dokopy existujú $3$ možné ofarbenia stĺpca, ktoré majú práve dve políčka ofarbené farbou $F$. Keďže využívame každé ofarbenie okrem jedného práve raz, tak pre aspoň dva zo zvyšných šiestich stĺpcov platí, že dve z ich políčok sú ofarbené farbou $F$. Keď teda zoberieme stĺpec, ktorý je celý ofarbený farbou $F$ a jeden z týchto minimálne dvoch stĺpcov, tak políčka s farbou $F$ určite budú tvoriť obdĺžnik.

Z toho vyplýva, že v tabuľke $7 \times 3$ bude musieť byť vždy aspoň jeden takýto obdĺžnik zo štvorčekov rovnakej farby. A to dokonca bez ohľadu na to, koľko je ktorej farby na plániku.