Opravovatelia

Mati [email protected]

Štepi [email protected]

Ako nám napovedá aj vtip v zadaní, s polynómami vieme pekne pracovať, keď poznáme ich korene, teda hodnoty, kde $P(x) = 0$. Zadanie nám o koreňoch polynómu nič nehovorí, ale môže sa nám zdať podozrivé, že $P(1) = 1$, $P(3) = 3$ a $P(x) \geq x$. Môžeme si teda definovať druhý polynóm $Q(x) = P(x) - x$. Potom zo vzťahov, ktoré sme práve spomínali, dostaneme, že $Q(x) \geq 0$ pre všetky $x$ a zároveň $1$ a $3$ sú korene. Polynóm $Q$ bude tiež štvrtého stupňa, rovnako ako $P$.

Keď má polynóm nejaký koreň $r$, tak ten polynóm vieme vydeliť $(x - r)$. $Q(x)$ teda vieme napísať ako $(x - 1)(x - 3)R(x)$, kde $R(x)$ je polynóm druhého stupňa (keďže $Q(x)$ má byť štvrtého). Musí platiť, že $(x - 1)(x - 3)R(x) \geq 0$. Z tejto nerovnosti vieme vyjadriť $R(x)$ a rozdeliť si to na niekoľko prípadov.

Ak je $x < 1$, potom sú $(x - 1)$ aj $(x - 3)$ záporné, ich súčin je kladný, takže musí byť $R(x) \geq 0$, aby bolo aj $Q(x) \geq 0$. Podobne, ak je $1 < x < 3$, musí byť $R(x) \leq 0$ a pre $x > 3$ musí byť znovu $R(x) \geq 0$.

Keďže polynómy sú spojité, musí platiť $R(1) = R(3) = 0$.¹ $1$ a $3$ sú teda korene aj polynómu $R(x)$. Keďže $R(x)$ je druhého stupňa, vieme ho napísať ako $(x - 1)(x - 3)c$, kde $c$ je nejaká (nezáporná) konštanta.

Z toho vieme vyjadriť aj pôvodný polynóm $P(x) = (x - 1)^2(x - 3)^2c + x$. Zostáva ešte zistiť, čo môže byť $c$. Na to využijeme poslednú informáciu v zadaní, ktorú sme ešte nevyužili, a to že $P(2) = 4$. Dostávame $$\begin{align} (2 - 1)^2(2 - 3)^2c + 2 &= 4, \ 1 \cdot 1 \cdot c + 2 &= 4, \ c &= 2.\end{align}$$

Dostávame, že $P(x) = 2(x - 1)^2(x - 3)^2$, čo aj naozaj vyhovuje zadaniu.

Iné riešenie

Rovnako ako v predošlom riešení si definujeme $Q(x) = P(x) - x$. Vieme, že $Q(x)$ má korene $1$ a $3$ a je všade $\geq 0$. V koreňoch sa teda jeho graf dotýka $x$-ovej osi. Je známe, že ak sa polynóm v koreni $r$ dotýka $x$-ovej osi, tak je to viacnásobný koreň, teda polynóm môžeme vydeliť $(x - r)^2$. Takto rovno dostaneme $Q(x) = (x - 1)^2(x - 3)^2c$, keďže súčin vybratých zátvoriek je už štvrtého stupňa. Hodnotu $c$ dopočítame rovnako ako v predchádzajúcom riešení.