Opravovatelia

Timka [email protected]

Jirka [email protected]

Vzorové riešenie tejto úlohy si môžeš pozrieť aj ako video na našom YouTube kanáli www.youtube.com/KorMatSem.

Jeden z kľúčových krokov k vyriešeniu úlohy bolo poradiť si s bodmi $K$ a $L$. V tom nám mohlo pomôcť známe tvrdenie, že v trojuholníku sa os strany a os uhla pri vrchole oproti tejto strane pretínajú na kružnici opísanej tomuto trojuholníku v tzv. Švrčkovom bode. Z toho vyplýva, že $K$ leží na kružnici opísanej trojuholníku $ABD$ a $L$ zas na kružnici opísanej trojuholníku $ACD$.

Označme si $I$ stred vpísanej kružnice trojuholníka $ABC$, ktorý, ako je známe, je priesečníkom osí vnútorných uhlov trojuholníka. Všimnime si, že priamka $DI$ je kolmá na $KL$ zo zadania, keďže priamka $KL$ je os úsečky $AD$. Následne nám stačí ukázať, že priamka $LI$ je kolmá na $DK$, pretože priamky $LI$ a $DI$ budú potom výšky v trojuholníku $KLD$ postupne z vrcholov $L$ a $D$, pričom $I$ bude ich priesečník, čo je presne to, čo chceme dokázať.

Tak poďme dokázať, že $LI$ je kolmá na $DK$, čo vieme dosiahnuť prenesením zopár uhlov. Konkrétne dokážeme, že uhol v bode $M$, ktorý si zadefinujme ako priesečník priamok $LC$ a $KD$, je pravý. Uhly v trojuholníku si označíme klasicky $\alpha,\beta,\gamma$. Najprv využijeme už spomenutý fakt, že $KABD$ je tetivový štvoruholník, teda platí, že $|\sphericalangle{AKD}|=180^\circ-\beta$. Analogicky aj $|\sphericalangle{ALD}|=180^\circ-\gamma$. Ďalej si všimnime, že trojuholníky $KLD$ a $KLA$ sú osovo súmerné podľa priamky $KL$. Teda priamka $KL$ je aj osou uhlov $AKD$ a $ALD$. Teraz môžeme smelo určiť hodnotu $$|\sphericalangle{KAL}|=180^\circ-|\sphericalangle{ALK}|-|\sphericalangle{AKL}|=180^\circ-\frac{1}{2}\cdot(|\sphericalangle{AKD|}+|\sphericalangle{ALD}|)=\frac{\beta+\gamma}{2}.$$ Z osovej súmernosti vieme aj, že $|\sphericalangle{KAL}|=|\sphericalangle{KDL}|$. Ďalej z obvodových uhlov si všimnime, že $$|\sphericalangle{DAC}|=|\sphericalangle{DLC}|=\frac{\alpha}{2}.$$ Nič nám teraz nebráni vyrátať $$|\sphericalangle{LMD}|=180^\circ-|\sphericalangle{DLM}|-|\sphericalangle{LDM}|=180^\circ-\frac{\alpha+\beta+\gamma}{2}=90^\circ,$$ čiže priamka $LI$ je kolmá na $DK$, čo je ako už bolo vyššie popísané všetko potrebné na vyriešenie tejto úlohy.

****