Opravovatelia

Michal S. [email protected]

Fero [email protected]

Nech $a$ a $b$ sú vyhovujúce súdeliteľné čísla s najväčším spoločným deliteľom $l$, potom¹ $a=lp$, $b=lq$, $(p,q)=1$. $$\frac{ab}{a+b}=\frac{l^2pq}{l(p+q)}=\frac{lpq}{p+q}.$$

Platí, že $(pq, p+q)=1$, pretože $p$ a $q$ sú nesúdeliteľné s $p+q$. Ak by totiž nejaké číslo $d$ delilo $p$ a $p+q$, tak by potom delilo aj ich rozdiel, čo znamená, že $d\mid q$, $d\mid p$, ale $p$ a $q$ sú nesúdeliteľné. Rovnakým spôsobom by sme to ukázali pre $q$.

Takže $p+q$ musí deliť samotné $l$ z čitateľa, to znamená, že $l=k(p+q)$. Dostávame $$\frac{lpq}{(p+q)}=\frac{k(p+q)pq}{(p+q)}=kpq,$$ pričom $k,p,q\in \mathbb{N}$, $(p,q)=1$. Pritom $k$ môže byť súdeliteľné s $p$ alebo $q$.

Keďže $\frac{ab}{a+b}\mid n$, potom aj $kpq\mid n$, čiže $k,p,q$ sú delitele $n$. Ďalej budeme počítať počet vyhovujúcich trojíc $(k, p, q)$, kde $kpq\mid n$ a čísla $p$ a $q$ sú nesúdeliteľné. Môžeme si všimnúť, že tento počet bude rovnaký ako hľadaný počet vhodných dvojíc $(a, b)$, pretože každá trojica $(k, p, q)$ nám jednoznačne dáva dvojicu $(a, b)$ podľa vzťahov $l=k(p+q), a=lp, b=lq$ a táto skutočne vyhovuje podmienke zadania, pretože $\frac{ab}{a+b}=kpq \mid n$.

Rôzne trojice $(k, p, q)$ nám dajú rôzne dvojice $(a, b)$, pretože z dvojice $(a, b)$ vieme jednoznačne určiť $l, p, q$ a z toho jednoznačne dopočítať $k$.

Najprv sa pozrieme na prípady, keď $n$ je rovné $1$, prvočíslu a mocnine prvočísla. Pre $1$ vidíme, že je len jedna možnosť $k=p=q=1$. Pre každé prvočíslo sú $4$ možnosti, buď sa všetky tri čísla rovnajú $1$ alebo jedno z nich je dané prvočíslo. $1$ a $4$ sú druhé mocniny, čiže v týchto prípadoch to platí.

V prípade, že $n=P^m$ pre nejaké prvočíslo $P$, dostaneme dva podprípady:

1. $p=q=1$: v tomto prípade dostávame $m+1$ možnosti, lebo $k$ sa môže rovnať $1,P^1,P^2,\dots, P^m$.

2. $p=P^s$, alebo $q=P^s$, kde $s \in {1, \dots, m}$: keďže $p$ a $q$ sú nesúdeliteľné, to druhé z nich musí byť $1$. Pre pevne zvolené $s$ potom máme $(m+1-s)$ možností pre $k$ ($k$ môže nadobúdať hodnoty od $P^{0}$ po $P^{m-s}$). Keďže si navyše vyberáme, či $p$ bude $P^s$ a $q$ bude $1$ alebo naopak, máme dokopy $2(m+1-s)$ možností. Celkový počet možností cez všetky $s$ je teda $2(1+2+3+\dots+m)$. Tento súčet je rovný $2\frac{m(m+1)}{2}=m(m+1)$.

Takže dokopy dostaneme $(m+1)+m(m+1)=(m+1)(m+1)=(m+1)^2$.

Posledný prípad je, keď $n$ má dvoch alebo viac prvočíselných deliteľov, teda $n = P_1^{m_1} \dots P_t^{m_t}$. V tomto prípade možnosti, ako rozdeliť jednotlivé mocniny prvočíselných deliteľov medzi $k$, $p$ a $q$ sú navzájom od seba nezávislé, čo znamená, že celkový počet možností bude súčin počtov možností pre jednotlivé mocniny prvočísel. Každé $P_i^{m_i}$ bude mať $(m_i+1)^2$ možností a súčin druhých mocnín je druhá mocnina.

Takže pre všetky $n$ je tento počet druhou mocninou vyjadrenou ako $((m_1+1)(m_2+1)(m_3+1)\dots(m_t+1))^2$, kde $m_i$ sú exponenty jednotlivých prvočíselných deliteľov čísla $n$. Môžeme si všimnúť, že ide dokonca o druhú mocninu počtu deliteľov $n$.