Opravovatelia

Lukáš [email protected]

Zamyslime sa na začiatok, čo sa deje s ciferným súčtom čísla, keď ho vynásobíme dvomi. Pokiaľ vynásobíme dvojkou cifry $0, 1, 2, 3, 4$, dostaneme postupne $0, 2, 4, 6, 8$. Pokiaľ ale vynásobíme $5, 6, 7, 8, 9$, z nich dostávame $10, 12, 14, 16, 18$. Pri násobení po cifrách však musíme do výsledku zapisovať cifry a poprípade nám môže nejaká desiatka „zvýšiť“ ako jednotka do vyššieho rádu. Takže ak označíme $s(n)$ ciferný súčet čísla $n$, vyzerá to, že vo všeobecnosti by mohlo platiť zhruba niečo také, že $s(2n)=2s(n)$, keby nám to nekazili prechody cez desiatku.

Mohli by sme mať nápad, že sa pozrieme na to, či pri násobení predošlej cifry vznikol prechod cez desiatku a ak áno, pripočítame to k výsledku tohto násobenia. S prechodmi cez desiatku je však taký problém, že sa môžu na seba „nabaľovať“. Predstavme si, že by sme násobili $134\cdot3$. Ak chceme vedieť, aká cifra bude na mieste stoviek vo výsledku, tak by sme sa pozreli na $1\cdot3=3$ a zároveň by sme sa uistili, že pri predošlej cifre $3\cdot 3=9<10$ nenastal prechod cez desiatku. Tým by sme dostali, že na mieste stoviek má číslo $134\cdot3$ cifru $3$. Lenže $134\cdot3=402$ nemá na mieste stoviek cifru $3$. Prečo je to tak? No pri násobení na mieste desiatok síce máme len $3\cdot3=9$, avšak z násobenia na mieste jednotiek $3\cdot4=12$ nám „zvýši“ jednotka, takže výsledok už bude $10$. To znamená, že hodnotu cifry na nejakom mieste vo výsledku pri násobení jednociferným číslom nám neovplyvňuje len cifra na rovnakom mieste v pôvodnom čísle a cifra nasledujúca, ale aj všetky ostatné za nimi.

A hoc by sme teraz mohli mať hlavu v smútku, pre násobenie dvomi je však svet krajší. Všimnime si, že „zvýšiť“ nám môže nanajvýš jedna jednotka. Zároveň, keby sme nepočítali s prechodmi cez desiatku, cifry, ktoré vieme dostať vo výsledku, sú len $0, 2, 4, 6$ a $8$. Keď však ktorúkoľvek z nich zvýšime o $1$, stále ostaneme pod desiatkou, čiže prechod sa nebude „nabaľovať“. To znamená, že ak chceme pri násobení dvomi zistiť, aká cifra bude vo výsledku na nejakom mieste, stačí sa v pôvodnom čísle pozerať na cifru na rovnakom mieste a cifru za ňou nasledujúcu.

V tabuľke vidíme, že vždy budeme mať vo výsledku namiesto cifry $x$ hodnotu $2x$, len niekedy k nej musíme niečo pripočítať alebo od nej niečo odpočítať. Bolo by fajn zistiť, ako často také niečo budeme robiť.

Uvedomme si, že ak máme cifru menšiu alebo rovnú $4$, nemusíme kvôli nej pripočítavať ani odpočítavať nič. Ak však máme cifru väčšiu alebo rovnú $5$, na jej mieste sa nám od ciferného súčtu odpočíta desiatka a na mieste naľavo sa nám kvôli prechodu cez desiatku pripočíta jednotka. Preto za každú cifru väčšiu alebo rovnú $5$ musíme odpočítať deviatku.

Vidíme, že to, o koľko sa nám $s(2n)$ vychýli od $2s(n)$, závisí iba od počtu „veľkých“ cifier v $n$. Poďme teda zistiť, aký má byť. Označme $p_{\geq5}(n)$ počet cifier $n$, ktoré sú väčšie alebo rovné ako $5$. Potom $$s(2n)=2s(n)-9p_{\geq5}(n).$$

Keďže pre $N$ zadanie požaduje, aby $s(N)=12$ a $s(2N)=18$, tak musí platiť $$\begin{align} s(2N)&=2s(N)-9p_{\geq5}(N),\ 18&=24-9p_{\geq5}(N),\ 9p_{\geq5}(N)&=6,\ p_{\geq5}(N)&=\frac23.\end{align}$$

To však ale nesedí, lebo počet cifier väčších alebo rovných $5$ musí byť celé číslo, čo $\frac23$ nie sú. Preto také $N$ neexistuje.

Iné riešenie.

S ciferným súčtom narábajú niektoré pravidlá deliteľnosti. Napríklad číslo je deliteľné tromi práve vtedy, keď je tromi deliteľný aj jeho ciferný súčet. Podobné pravidlo platí aj pre deviatku. No a všimnime si, že ciferný súčet $2N$ má byť $18$. Ten je deliteľný deviatimi, preto aj $9\mid 2N$. Avšak, deviatka a dvojka nemajú spoločné delitele, preto aj $N$ samotné musí byť deliteľné deviatimi. To by ale malo mať aj ciferný súčet deliteľný deviatimi, čo hodnota $12$ nespĺňa. Tým sme dostali spor v podmienkach zo zadania, a teda také číslo $N$ neexistuje.