Opravovatelia

Baška [email protected]

Radka [email protected]

Ako prvé si nakreslime ako vyzeralo ježibabkino lichobežníkové podkrovie. Ďalej si označme $|AD|=a$ a následne podľa zadania doplňme $|BC|=a$, $|AB|=3a$, $|DC|=2a$.

****

Teraz sa skúsme pozrieť na trojuholníkový priestor hneď nad podkrovím, v ktorom býva Bezzubý. Dokreslime si teda náš lichobežník $ABCD$ na trojuholník $ABV$.

****

Môžeme si všimnúť, že trojuholníky $ABV$ a $DCV$ sú podobné, keďže $AB$ a $DC$ sú rovnobežné. Vieme. že $\frac{|DC|}{|AB|}=\frac{2}{3}$, teda potom musí platiť aj $\frac{|DV|}{|AV|}=\frac{2}{3}$, čo si môžeme upraviť ako $$\begin{align} \frac{|DV|}{|AD|+|DV|}&=\frac{2}{3},\ 3|DV|&=2(|AD|+|DV|),\ 3|DV|&=2|AD|+2|DV|,\ |DV|&=2|AD|=2a.\end{align}$$ Teda $|AV|=3a$, rovnako aj $|BV|=3a$, keďže trojuholník $ABV$ je rovnoramenný s ramenami $AV$ a $BV$. Keďže všetky strany trojuholníka $ABV$ majú dĺžku $3a$, trojuholník $ABV$ je rovnostranný. Označme priesečník strany $AV$ s osou uhla $ABV$ ako $F$ a obsah trojuholníka $ABV$ ako $S_{ABV}$.

****

Pre rovnostranný trojuholník platí, že jeho výšky, osi strán, osi uhlov a ťažnice sú totožné. Z toho vyplýva, že os uhla $ABV$ je totožná s ťažnicou na stranu $AV$, teda delí trojuholník $ABV$ na polovicu. Čo môžeme zapísať ako $S_{ABF}=\frac{1}{2}S_{ABV}$. Ďalej z toho vyplýva, že $E$ je ťažisko trojuholníka $ABV$, teda delí úsečku $FB$ v pomere $1:2$, teda aj obsahy trojuholníkov sú v pomere $1:2$, čo môžeme zapísať ako $\frac{S_{AEF}}{S_{ABE}}=\frac{1}{2}$ čo vieme upraviť ako $$\begin{align} \frac{S_{ABE}}{S_{ABF}}&=\frac{2}{3},\
3S_{ABE}&=2S_{ABF},\ 3S_{ABE}&=2\frac{1}{2}S_{ABV},\ 3S_{ABE}&=S_{ABV},\ S_{ABE}&=\frac{1}{3}S_{ABV}.\end{align}$$

Teraz sa pozrime akú časť z trojuholníka $ABV$ tvorí lichobežník $ABCD$. Trojuholníky $ABV$ a $DCV$ sú v pomere $3:2$, teda ich obsahy sú v pomere $9:4$, čo môžeme zapísať ako $\frac{S_{DCV}}{S_{ABV}}=\frac{4}{9}$, teda $\frac{S_{DABCD}}{S_{ABV}}=\frac{5}{9}$, čo môžeme zapísať ako $S_{DABCD}=\frac{5}{9}S_{ABV}$.

Nakoniec sa teda pozrime na pomer obsahov trojuholníka $ABE$ a lichobežníka $ABCD$. $$\begin{align} \frac{S_{ABE}}{S_{ABCD}}=\frac{\frac{1}{3}S_{ABV}}{\frac{5}{9}S_{ABV}}=\frac{3}{5}. \end{align}$$

Trojuholník $ABE$ tvorí $\frac{3}{5}$ lichobežníka $ABCD$.

Dodajme ešte, že náčrty vyššie úplne nezodpovedali realite. Je to preto, že bod $E$ v skutočnosti leží na úsečke $CD$. Aby sme sa však vyhli tomu, že tento nedokázaný fakt v riešení využijeme, nakreslili sme si obrázok, ktorý k tomu ani trochu nenavádza. A ak vás zaujíma, prečo $E$ leží na $CD$, skúste si to dokázať. Ak neviete, ako, zamyslite sa, v akom pomere rozdeľuje ťažisko ťažnice.

****