Opravovatelia

Mimi [email protected]

Kopy [email protected]

Najprv zo skúmania vylúčme možnosť, že $x=-4$, to by bola v menovateli na ľavej strane nula. Keďže dolná celá časť je celé číslo, menovateľ vpravo $7\lfloor x\rfloor-5$ je nenulové číslo.

Následne si upravme rovnosť do krajšieho tvaru: $$\begin{align} \frac{x}{x+4}&=\frac{5\lfloor x \rfloor - 7}{7\lfloor x \rfloor - 5},\\ x(7\lfloor x \rfloor -5)&=(x+4)(5\rfloor x \lfloor -7),\\ 7x\lfloor x\rfloor -5x&=5x\lfloor x \rfloor +20\lfloor x \rfloor -7x-28,\\ 2x\lfloor x \rfloor +2x&=20\lfloor x \rfloor -28,\\ x\lfloor x \rfloor +x&=10\lfloor x \rfloor -14,\\ x\lfloor x \rfloor +x-10\lfloor x \rfloor -10&= -14-10,\\ x(\lfloor x \rfloor +1)-10(\lfloor x \rfloor +1)&= -24,\\ (x-10)(\lfloor x \rfloor +1)&= -24,\\ (10-x)(\lfloor x \rfloor +1)&= 24.\end{align}$$

Ľavá zátvorka je kladná, ak $x<10$, inak je záporná alebo $0$. Pravá zátvorka je kladná, ak $x\geq0$, inak je buď záporná, alebo $0$. Obe zátvorky naraz nemôžu byť záporné, a preto obe musia byť kladné, lebo pravá strana rovnice je kladná. Tým pádom existuje len $10$ možností, čomu sa rovná číslo $\lfloor x \rfloor$. Upravme si rovnicu tak, aby sme vedeli priamo z nejakej $\lfloor x \rfloor$ vypočítať $x$:

$$\begin{align} (10-x)(\lfloor x \rfloor +1)&= 24,\\ 10-x&=\frac{24}{\lfloor x \rfloor +1},\\ -x&=\frac{24}{\lfloor x \rfloor +1}-10,\\ x&=10-\frac{24}{\lfloor x \rfloor +1}.\\\end{align}$$

Dosaďme teda hodnoty od $0$ do $9$ a zistime, ktoré z nich vyhovujú tomu, že $\lfloor x\rfloor\leq x < \lfloor x\rfloor+1$:

Naša rovnica má teda práve tri riešenia $2$, $7$ a ${46}/{7}$.

Iné riešenie.

Vyjadríme $x$ z $\lfloor x\rfloor$ ako v predchádzajúcom riešení. $$x=10-\frac{24}{\lfloor x\rfloor+1}.$$ Môžeme pokračovať ďalej, aj ak sme nespravili úvahu o znamienku, teda máme iba toto vyjadrenie (a vieme, že $\lfloor x\rfloor+1\not=0$). Priamo toto $x$ môžeme dosadiť do $\lfloor x\rfloor\leq x<\lfloor x\rfloor+1$. Potom upravíme sústavu (dvoch) nerovníc tak, aby v nej vystupovali polynómy v $\lfloor x\rfloor$. Po ceste si treba uvedomiť, že bez znalosti znamienka $\lfloor x\rfloor+1$ nemôžeme násobiť nerovnice touto hodnotou, ale jej druhou mocninou áno. $$\begin{gathered} \lfloor x\rfloor\leq10-\frac{24}{\lfloor x\rfloor+1}<\lfloor x\rfloor+1,\\ \lfloor x\rfloor(\lfloor x\rfloor+1)^2\leq10(\lfloor x\rfloor+1)^2-24(\lfloor x\rfloor+1)<(\lfloor x\rfloor+1)^3,\\ (\lfloor x\rfloor+1)(\lfloor x\rfloor^2+\lfloor x\rfloor)\leq(\lfloor x\rfloor+1)(10\lfloor x\rfloor-14)<(\lfloor x\rfloor+1)(\lfloor x\rfloor^2+2\lfloor x\rfloor+1),\\ (\lfloor x\rfloor+1)(\lfloor x\rfloor^2-9\lfloor x\rfloor+14)\leq0<(\lfloor x\rfloor+1)(\lfloor x\rfloor^2-8\lfloor x\rfloor+15),\\ (\lfloor x\rfloor+1)(\lfloor x\rfloor-2)(\lfloor x\rfloor-7)\leq0<(\lfloor x\rfloor+1)(\lfloor x\rfloor-3)(\lfloor x\rfloor-5).\end{gathered}$$

Prvá nerovnica má v $\lfloor x\rfloor$ riešenie $(-\infty,-1\rangle\cup\langle2,7\rangle$, druhá $(-1,3)\cup(5,\infty)$. Prienik týchto riešení je $\langle2,3)\cup(5,7\rangle$, a teda $\lfloor x\rfloor$ môže nadobúdať všetky celočíselné hodnoty z týchto intervalov, čo sú $2$, $6$ a $7$. Dosadíme do vyjadrenia pre $x$ a dostaneme riešenia pôvodnej rovnice $2$, $46/7$ a $7$.