Opravovatelia

Džavo [email protected]

Mati [email protected]

Pracovať s výrazmi tvaru $x^3+y^3$ alebo $1-z^2$ je často náročné. Pomôcť nám vedia rozklady na súčin jednoduchších výrazov. V našom prípade to je $$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=1-z^2=(1-z)(1+z).$$ Keď sa na tieto rozklady zapozeráme, môžeme si všimnúť, že môžeme vykrátiť $(x+y)$ z ľavej strany rovnice a $(1-z)$ z pravej strany, lebo podľa zadania platí, že $(x+y)=(1-z)$. Predtým, než sa do toho pustíme, musíme sa zamyslieť, či výraz, ktorým chceme podeliť, nemôže byť nulový. To nastane vtedy, keď $z=1$ a $y=-x$. Môžeme si povšimnúť, že ak $x=-y=k$, kde $k$ je ľubovoľné celé číslo tak trojica $(x,y,z)=(k,-k,1)$ vyhovuje našej sústave. Ďalej predpokladajme, že $(x+y)$ a $(1-z)$ sú nenulové, a teda ich môžeme z druhej rovnice vykrátiť. Premennú $z$ si ešte vieme vyjadriť z prvej rovnice ako $z=1-x-y$, čím po jednoduchých úpravách dostávame $$x^2-xy+y^2=1+z=2+x+y$$ $$x^2-xy+y^2+x+y=2.$$ Výrazy $xy$, či $x$ alebo $y$ sa môžu s $x^2$ alebo $y^2$ vyskytovať v kompaktnejšom tvare ako napríklad $(x-y)^2$, či $(x+1)^2$. Tak poďme si ich tam vyrobiť pomocou trikovej úpravy pozostávajúcej z vynásobenia našej rovnice $2$ a pričítaním dvojky. Dostaneme, že $$2x^2-2xy+2y^2+2x+2y+2=(x^2-2xy+y^2)+(x^2+2x+1)+(y^2+2y+1)=(x-y)^2+(x+1)^2+(y+1)^2=6.$$ Mať túto rovnicu v takomto tvare – súčte druhých mocnín je pre nás výhodné. Druhé mocniny sú nezáporné a keďže riešime túto úlohu v obore celých čísel, tak jednotlivé zátvorky môžu nadobúdať iba zopár hodnôt. Vyplýva to z toho, že jednotlivé členy sú menšie alebo rovné šestke na pravej strane. Zapísať šestku ako súčet troch celočíselných druhých mocnín sa dá práve jediným spôsobom, a to $6=4+1+1$. Následne nám už len stačí rozobrať jednotlivé prípady, kedy sa ktorý člen rovná $4$. Vzhľadom na symetriu $x$ a $y$ môžeme bez ujmy na všeobecnosti predpokladať, že $x\geq y$. Hodnotu $z$ následne spätne dopočítame z rovnosti $z=1-x-y$.

1. $(x-y)^2=4$. Následne $(x+1)^2=1$ aj $(y+1)^2=1$, z čoho dostávame, že $x$, $y$ môžu byť buď $-2$ alebo $0$. Keďže predpokladáme, že $x\geq y$ tak dostávame jediné riešenie $(x,y,z)=(0,-2,3)$.

2. $(x+1)^2=4$, čiže $x$ môže byť $-3$ alebo $1$. Ďalej z $(y+1)^2=1$ $y$ môže byť $-2$ alebo $0$ a z $x\geq y$ a $(x-y)^2=1$ dostávame jediné riešenie $(x,y,z)=(1,0,0)$.

3. $(y+1)^2=4$. Analogicky $y$ môže byť $-3$ alebo $1$ a zároveň z $(x+1)^2=1$ premenná $x$ môže byť $-2$ alebo $0$ a z $x\geq y$ a $(x-y)^2=1$ dostávame jediné riešenie $(x,y,z)=(-2,-3,6)$

Aby sme to zhrnuli, všetky vyhovujúce trojice $(x,y,z)$ sú $(1,0,0)$, $(0,1,0)$, $(-3,-2,6)$, $(-2,-3,6)$, $(0,-2,3)$, $(-2,0,3)$ a ešte $(k,-k,1)$ kde $k$ je ľubovoľné celé číslo.