Opravovatelia

Mišo M. [email protected]

Najprv spomeňme prípad, kedy $D = B$. Vtedy je daná dotyčnica spoločná pre obe kružnice, a tak $E = F = B$, kedy platí $|EF| = 0 = |DE|$. Ďalej sa už budeme zaoberať iba prípadom, kedy $D \neq B$.

Začnime s analýzou výslednej situácie. Z tej sa dozvieme, čo od bodov očakávame, a teda aj ako ich nájdeme/zostrojíme.

Ako prvé označme $b$ spoločnú dotyčnicu $k,\, l$ prechádzajúcu bodom $B$ a označme $X$ jej priesečník s priamkou $DE$. Ak sa nám podarí nájsť bod $X$, ľahko z neho zostrojíme dotyčnicu k $l$, aby sme našli $D$.

****

Skúsme teda zistiť niečo viac o bode $X$. Vieme, že $XB$ aj $XD$ sú dotyčnice ku kružnici $l$, takže úsečky $XB$ a $XD$ sú rovnako dlhé. Keď označíme $|DE| = |EF| = d$ a $|EX| = x$, dostaneme $|XB| = |XD| = d - x$. Teraz sa zameriame na kružnicu $k$ a využijeme mocnosť bodu $X$. Bod $B$ je bod dotyku a $E, F$ sú priesečníky $k$ s priamkou $XD$. Platí teda $|XB|^2 = |XE| \cdot |XF|$. Vyjadrenie pomocou $x$ a $d$ dáva rovnicu $$\begin{align} (d - x)^2 &= x \cdot (d + x),\ d^2 - 2dx + x^2 &= dx + x^2,\end{align}$$ odkiaľ ľahko dopočítame $d = 3x$. (Alebo $d = 0$, čo by opäť viedlo na prípad $D = B$.)

Vidíme, že $X$ sa nachádza v tretine úsečky $ED$, no to nám nepomáha, keďže ani body $E$ a $D$ na začiatku nepoznáme. Priamku $b$ zostrojiť vieme, no potrebovali by sme skôr vzdialenosť od niektorého z bodov $A, B, C$. Tu sa nám zíde pozorovanie, že trojuholník $ACX$ je rovnoramenný so základňou $AC$. Priamka $b$ je ako dotyčnica kolmá na $AB$ aj $BC$. Navyše $|AB| = |BC| = r$ podľa zadania, takže bod $X$ leží na osi $AC$.

****

Označme $\alpha = |\sphericalangle ACX| = |\sphericalangle CAX|$. Keďže $|XB| = |XD| = 2x,\, |CB| = |CD| = r$ a úsečka $CX$ je spoločná pre trojuholníky $BCX$ a $DCX$, sú tieto trojuholníky zhodné. Takže platí $|\sphericalangle DCX| = \alpha$. Navyše sú spomínané trojuholníky pravouhlé, s pravým uhlom pri vrchole $B$, resp. $D$. Vďaka Tálesovej vete vieme, že body $B, C, D, X$ ležia na kružnici. Veta o obvodových uhloch nám dáva $$|\sphericalangle XDB| = |\sphericalangle XCB| = \alpha = |\sphericalangle XCD| = |\sphericalangle XBD|.$$ Trojuholník $BDX$ je teda rovnoramenný so základňou $DB$. Pri základni má navyše uhol $\alpha$, rovnako ako trojuholník $ACX$. Tieto trojuhoníky sú teda podobné podľa vety uu.

Vieme, že $|AC| = 2r,\, |XB| = |XD| = 2x$. My z týchto dĺžok poznáme len polomer kružníc $r$, chceli by sme však dostať $x$, alebo aspoň $|AX|$. Potom by sme vedeli zostrojiť bod $X$ a následne by sme našli aj $D$. Potrebujeme teda zistiť niečo viac o pomeroch strán v týchto podobných trojuholníkoch.

Využime teraz fakt, že $B$ je stredom súmernosti kružníc $k$ a $l$. Ak $A$, stred kružnice $k$, zobrazíme v tejto stredovej súmernosti, dostaneme bod $C$. Na zobrazenie celej kružnice $k$ nám stačí zo stredu $C$ spraviť kružnicu s rovnakým polomerom. To je práve kružnica $l$. Vo všeobecnosti, ak máme dve dotýkajúce sa kružnice, ich bod dotyku bude stredom rovnoľahlosti týchto dvoch kružníc. Tento fakt sa Vám môže zísť aj v iných úlohách. Keďže $k$ a $l$ sú zhodné, miesto rovnoľahlosti dostaneme stredovú súmernosť.

****

Predĺžme teraz úsečku $BD$ na priamku a označme $G$ jej druhý priesečník s $k$. Vďaka stredovej súmernosti platí $|BG| = |BD|$. V trojuholníku $FGD$ je tak úsečka $EB$ strednou priečkou. Takže je rovnobežná so základňou $FG$. Štvoruholník $FGBE$ je teda tetivový lichobežník a taký lichobežník musí byť rovnoramenný. (Vieme využiť napríklad fakt, že protiľahlé uhly v tetivovom štvoruholníku majú súčet $180^\circ$.)

Zisťujeme teda, že $|BG| = |EF| = 3x$. To znamená, že aj $|BD| = 3x$. V trojuholníku $BDX$ je teda pomer ramena ku základni $2x : 3x = 2:3$ a ten musí byť rovnaký ako v trojuholníku $ACX$. Platí teda $$|AX| = \frac{2}{3} |AC| = \frac{2}{3} \cdot 2r = \frac{4}{3} r.$$

****

Teraz už vieme nájsť bod $X$, a teda aj $D$. Najprv zostrojíme priamku $b$ – os úsečky $AC$. Následne úsečku $BC$ s dĺžkou $r$ rozdelíme na tretiny¹, čím dostaneme nejaký bod $Y$, pre ktorý $|AY| = \frac{4}{3}r$. Kružnica so stredom v bode $A$ a polomerom $AY$ pretne $b$ v dvoch bodoch, čo sú dve možnosti pre bod $X$ – $X_1$ a $X_2$. Keďže $|XB| = |XD|$, stačí nám spraviť kružnice so stredmi v $X_1, X_2$ a polomermi $X_1B, X_2B$ a dostaneme dve možné pozície bodu $D$.

****