Opravovatelia

Džavo [email protected]

Na začiatok si uvedomme, že $I$ ako stred kružnice vpísanej trojuholníku $ABC$ leží na osi úsečky $EF$. Ak si jeho obraz v osovej súmernosti podľa $EF$ označíme ako $I’$, bude platiť, že $II’$ a $EF$ sú na seba kolmé a polia sa, teda tvoria kosoštvorec. Stačí teda dokázať, že body $I$ a $X$ sú osovo súmerné podľa priamky $EF$.

Ďalej si všimneme, že priamka $MN$ je z definície stredov opísaných kružníc osou úsečky $AI$. Označme si teda stred $AI$ ako $S$. Následne označme $U$ stred $EF$. Nahliadneme, že body $A$,$S$,$I’$, $U$ a $I$ ležia na priamke $AI$. Následne je rovnako ľahko vidieť, že $EAFI$ je tetivový deltoid.

Bystré oko geometra už tuší, že nám stačí len dokázať, že priamka $MN$ je polárou¹ bodu $I’$ vzhľadom ku kružnici vpísanej, z čoho už z La Hire Theorem vyplýva, že body $I’$ a $X$ sú jeden a ten istý bod a tým vyhráme. To vyplýva z toho, že priamka, na ktorej ležia body dotyku dotyčníc vedených z jedného bodu, je polárou tohto bodu. Dá sa to nahliadnuť tým, že kolmý priemet bodu na túto priamku je práve jeho obraz v kružnicovej inverzii. To je presne prípad priamky $KG$ a bodu $M$ a $LJ$ a $N$.

Využijeme teraz fakt, že pre pól $P$ a jeho priemet $P’$ na jeho poláru platí, že $$|OP|\cdot|OP’|=r^2,$$ kde $O$ a $r$ sú stred a polomer kružnice, vzhľadom ku ktorej je polára určená. V našom prípade $P$, $P’$ a $O$ sú postupne $I’$, $S$ a $I$. Teda chceme dokázať, že $$|I’I|\cdot|IS|=r^2=|IE|^2=|IF|^2.$$ To sa podobá na nejakú mocnosť bodu $I$ k vhodnej kružnici, pre ktorú platí, že jedna z priamok $IE$ alebo $IF$ je k nej dotyčnicou. Teraz už len nájsť takúto kružnicu. Ľahko si z tetivovosti $AEIF$ vieme napísať nasledovnú rovnosť uhlov $$|\sphericalangle{UAE}|=|\sphericalangle{IAF}|=|\sphericalangle{IEF}|,$$ čo znamená, že podľa vety o úsekovom uhle je priamka $IE$ dotyčnicou ku kružnici opísanej trojuholníku $AUE$. Mocnosť bodu $I$ k tejto kružnici teda je $$|IE|^2=|IA|\cdot|IU|=\frac{1}{2}\cdot|II’|\cdot2\cdot|IS|=|I’I|\cdot|IS|,$$ čo je presne to, čo sme chceli teda dokázať. Teda os $AI$ je polárou bodu $I’$, teda body $X$ a $I’$ sú ten istý bod a z toho vieme, že $EXFI$ je kosoštvorec, čím je dôkaz hotový.

****