Opravovatelia

Maťka [email protected]

Veľkosti odporu strán trojuholníka si označíme $a, b, c$. Našou úlohou je zistiť hodnotu súčtu $a+b+c$. Informácie zo zadanie vieme prepísať ako $3$ rovnice o $3$ neznámych: $$\begin{align} a(b+c) &= 96,\ b(a+c) &= 91,\ c(a+b) &= 75.\end{align}$$ Ľavé strany rovníc si môžeme upraviť na: $$\begin{align} ab+ac &= 96 \tag{1},\ ab+bc &= 91 \tag{2},\ ac+bc &= 75 \tag{3}.\end{align}$$ Skúsime si vyjadriť hodnotu $bc$. Najskôr odčítame rovnicu $(2)$ od $(1)$ a dostaneme $$\begin{align} ab+ac-ab-bc &= 96-91, \nonumber\ ac-bc &= 5. \tag{4}\end{align}$$ Teraz môžeme rovnicu $(4)$ odčítať od $(3)$ a dostaneme: $$\begin{align} ac+bc-ac+bc &= 75-5, \nonumber\ 2bc &= 70, \nonumber\ bc &= 35. \tag{5}\end{align}$$ Dosadením $(5)$ do $(2)$ a $(3)$ získavame $$\begin{align} ab+35 &= 91, \nonumber\ ac+35 &= 75 ,\nonumber\ ab &= 56, \tag{6}\ ac &= 40. \tag{7}\end{align}$$

Teraz si môžeme z rovnice $(6)$ vyjadriť neznámu $a$ za pomoci $b$ a následne to dosadiť do $(7)$, z ktorej vieme vyjadriť neznámu $b$ za pomoci $c$. $$\begin{align} a &= \frac{56}{b},\nonumber\ \frac{56c}{b} &= 40,\nonumber\ \frac{56c}{40} &= b.\tag{8}\end{align}$$ A napokon dosadením tejto rovnice do $(5)$ získame hodnotu $c$ ako $$\begin{align} \frac{56c^2}{40} &= 35,\ c^2 &= 25,\ c^2 -25 &= 0,\ (c+5)(c-5) &= 0.\end{align}$$ Vyšlo nám, že buď $c=5$ alebo $c=-5$. Zo zadania ale vieme, že odpory sú kladné reálne čísla, čiže zostáva len možnosť $c=5$. Dosadením do $(5)$ a $(7)$ rovnice získame hodnoty $a$ a $b$. $$\begin{align} 5b &= 35,\ 5a &= 40,\ b &= 7,\ a &= 8.\end{align}$$ Súčet odporov trojuholníka je $5+7+8 = \SI{20} {\ohm\squared}$.