Opravovatelia

Danko [email protected]

Úpravou zadaných podmienok sa pokúsime nájsť iné výrazy, ktoré sú násobkom $n$ a mohli by nám o hľadaných dvojiciach povedať viac. Vieme, že $$(k+1)^2+1 = k^2+2k+2.$$

Ak zo zadania je zároveň násobkom $n$ aj $k^2+1$, tak potom aj ich rozdiel a súčet sú násobkom $n$. Vynásobením týchto výrazov (či už číslom alebo sebou samým) zachováme, že ide o násobky $n$. Dostávame tak $$\begin{align} n &\mid (k^2+2k+2)-(k^2+1), & n &\mid (k^2+2k+2)+(k^2+1),\ n &\mid 2k+1, & n &\mid 2k^2+2k+3, \ n &\mid (2k+1)(2k+1), & n&\mid 2(2k^2+2k+3), \
n &\mid 4k^2+4k+1, & n &\mid 4k^2+4k+6.\end{align}$$

Výsledné dva výrazy, ktoré sú násobkami $n$ a líšia sa o $5$. Vieme teda, že $n \mid 5$. A keďže $5$ je prvočíslo, teda deliteľné iba sebou a jednotkou, už sú len dve možnosti.

Ak $n=1$, riešením môžu byť všetky $k$, pretože akýkoľvek výraz z nich bude deliteľný $1$.

Ak $n=5$, vieme napríklad, že musí platiť $5 \mid 2k+1$. Zapíšme $k=5l+x$, kde $l$ bude ľubovoľné nezáporné celé číslo a $x$ bude z množiny $\begingroup{ 0,1,2,3,4}\endgroup$, teda zvyšok čísla $k$ po delení piatimi. Potom v deliteľnosti $5 \mid 2(5l+x)+1=10l+2x+1$ môžeme hneď člen $10l$ škrtnúť, lebo je násobkom $5$, a teda na $l$ nezáleží – stačí, aby $2x+1$ bolo deliteľné $5$. To bude splnené iba v prípade, že $k$ bude mať správny zvyšok po delení $5$.

Po rýchlom vyskúšaní zisťujeme, že jediné vyhovujúce je $x=2$, teda riešeniami by mohli byť dvojice $n=5,k=5l+2$ pre všetky nezáporné $l$. Už si len dosadením treba overiť, či to tak vždy platí. Dostaneme $$5 \mid (5l+2)^2+1=25l^2+20l+5, \quad 5 \mid (5l+2+1)^2+1=25l^2+30l+10.$$

Tu vidíme že oba výrazy zo zadania po dosadení a úprave majú všetky členy deliteľné piatimi.

Odpovede preto sú $n=1, k \in \mathbb{N}$ a $n=5, k=5l+2$ pre $l \in \mathbb{N}_0$.