Opravovatelia

Kopy [email protected]

Keďže platí $$a+b+c+d = \frac{(b+2c+d) + (c+2d+a) + (d+2a+b) + (a+2b+c)}{4},$$ môžeme si nerovnosť prepísať do tvaru, v ktorom sa nám opakujú tie isté výrazy: $$\frac{(b+2c+d) + (c+2d+a) + (d+2a+b) + (a+2b+c)}{4}\cdot\left(\frac{1}{b+2c+d}+\frac{1}{c+2d+a}+\frac{1}{d+2a+b}+\frac{1}{a+2b+c}\right)\geq 4.$$

Opakujúce sa výrazy $(b+2c+d)$, $(c+2d+a)$, $(d+2a+b)$ a $(a+2b+c)$ si označíme ako $w, x, y, z$, aby bola nerovnosť prehľadnejšia. Nové premenné sú pritom tiež kladné, pretože sú súčtom kladných čísel. $$\frac{w + x + y + z}{4}\cdot\left(\frac{1}{w} + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\right) \geq 4.$$ Keďže prevrátená hodnota kladného čísla je kladná a súčet kladných čísel je kladný, druhou zátvorkou môžeme nerovnosť vydeliť a dostať $$\frac{w + x + y + z}{4} \geq \frac{4}{\frac{1}{w} + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}},$$ čo platí zo známej nerovnosti medzi aritmetickým a harmonickým priemerom (AM-HM nerovnosť) – je to presne jej znenie pre štyri čísla. A nakoľko sme v celom riešení používali ekvivalentné úpravy, vieme sa spätne dostať k požadovanej nerovnosti.

Riešenie pomocou permutačnej nerovnosti

Iný spôsob, ako nerovnosť dokázať, ak nám nenapadne harmonický priemer, ale poznáme permutačnú nerovnosť, je nasledovný. Vynásobme nerovnosť štyrmi: $$\left(w + x + y + z\right)\left(\frac{1}{w} + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\right) \geq 16.$$

Po roznásobení a preusporiadaní členov dostaneme $$\left(x\cdot\frac{1}{x} + y\cdot\frac{1}{y} + z\cdot\frac{1}{z} + w\cdot\frac{1}{w}\right) + \left(x\cdot\frac{1}{y} + y\cdot\frac{1}{z} + z\cdot\frac{1}{w} + w\cdot\frac{1}{x}\right) +$$ $$+\left(x\cdot\frac{1}{z} + y\cdot\frac{1}{w} + z\cdot\frac{1}{x} + w\cdot\frac{1}{y}\right) + \left(x\cdot\frac{1}{w} + y\cdot\frac{1}{x} + z\cdot\frac{1}{y} + w\cdot\frac{1}{z}\right) \geq 16.$$

Môžete si overiť, že každá kombinácia premenných v čitateli a menovateli sa tu vyskytuje práve raz. V každej štvorici sčítancov (v zátvorke) je každá premenná práve raz v čitateli a práve raz v menovateli. Každá štvorica sčítancov je teda súčet súčinov nejako popárovaných hodnôt $x, y, z, w$ s hodnotami $\frac{1}{x}, \frac{1}{y}, \frac{1}{z}, \frac{1}{w}$.

Z permutačnej nerovnosti vieme, že takýto súčet bude najmenší, ak popárujeme najväčšie číslo s najmenším atď. Oplatí sa nám preto párovať vždy $x$ s $\frac{1}{x}$, $y$ s $\frac{1}{y}$ atď., pretože ak je $x$ najväčšie spomedzi našich premenných, tak $\frac{1}{x}$ bude najmenšie. Je to tak preto, že funkcia $\frac{1}{x}$ je klesajúca, čím mám väčšie $x$, tým menšie mám $\frac{1}{x}$. Pozor, tu využívame, že naše premenné sú kladné.

Každá štvorica bude mať teda väčšiu alebo rovnakú hodnotu ako najmenšia permutácia, a keďže máme štyri štvorice, tak platí: $$\left(x\cdot\frac{1}{x} + y\cdot\frac{1}{y} + z\cdot\frac{1}{z} + w\cdot\frac{1}{w}\right) + \left(x\cdot\frac{1}{y} + y\cdot\frac{1}{z} + z\cdot\frac{1}{w} + w\cdot\frac{1}{x}\right) +$$ $$+\left(x\cdot\frac{1}{z} + y\cdot\frac{1}{w} + z\cdot\frac{1}{x} + w\cdot\frac{1}{y}\right) + \left(x\cdot\frac{1}{w} + y\cdot\frac{1}{x} + z\cdot\frac{1}{y} + w\cdot\frac{1}{z}\right) \geq 4 \cdot \left(x\cdot\frac{1}{x} + y\cdot\frac{1}{y} + z\cdot\frac{1}{z} + w\cdot\frac{1}{w}\right) = 4 \cdot 4 = 16,$$ čo sme presne chceli dokázať.

Riešenie pomocou Jensenovej nerovnosti

Ukážeme iný spôsob, ako dokázať nerovnosť $$\left(w + x + y + z\right)\left(\frac{1}{w} + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\right) \geq 16.$$ Upravíme si ju na $$\frac{\frac{1}{w} + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}}{4} \geq \frac{4}{w + x + y + z} = \frac{1}{\frac{w + x + y + z}{4}}.$$ O funkcii $f(x) = \frac{1}{x}$ vieme, že na kladných reálnych číslach je konvexná (oblasť nad jej grafom je konvexná). Preto pre ňu z Jensenovej nerovnosti platí, že priemer funkčných hodnôt (v bodoch $w$, $x$, $y$, $z$ – na ľavej strane nerovnosti) je väčší alebo rovný ako funkčná hodnota v priemere, teda $f(\frac{w+x+y+z}{4}) = \frac{4}{w+x+y+z}$, čím sme dostali chcenú nerovnosť.

Riešenie pomocou „zlomkobijca“

„Zlomkobijec“ je nerovnosť odvodená z Cauchy-Schwarzovej nerovnosti a hovorí nám, že pre kladné reálne čísla $a_1, \dots a_n, b_1, \dots b_n$ platí: $$\frac{a_1^2}{b_1} + \dots + \frac{a_1^2}{b_1} \geq \frac{(a_1 + \dots + a_n)^2}{b_1 + \dots + b_n}.$$ Platí preto $$\left(w + x + y + z\right)\left(\frac{1}{w} + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\right) \geq (w+x+y+z)\cdot\frac{(1+1+1+1)^2}{w+x+y+z}=4^2=16.$$

Tu sme využili, že $w+x+y+z$ je kladné číslo, takže z neho môžeme zobrať odmocninu. Celé by sa to dalo urobiť aj bez zavedenia $w, x, y, z$ (stačí si v každom kroku za ne dosadiť), ale boli by tam veľmi dlhé výrazy.