Opravovatelia

Mati [email protected]

Najprv si všimnime, že $M$ je stredom Tálesovej kružnice nad trojuholníkom $AFC$, preto $\lvert MC \rvert = \lvert MF \rvert$. Vďaka tomu dostávame, že $\lvert\sphericalangle MFC\rvert=\lvert \sphericalangle MCF \rvert=\alpha$, lebo ide o rovnoramenný trojuholník. Taktiež dostávame, že $\lvert\sphericalangle AMF\rvert=2\cdot\lvert \sphericalangle ACF \rvert=2\alpha$. Ide o stredový uhol vzhľadom k vyššie spomínanej Tálesovej kružnici. Teraz nahliadneme, že štvoruholník $MFBC$ je tetivový ($\lvert \sphericalangle MBC \rvert = |\sphericalangle FCA|=\alpha=\lvert \sphericalangle MFC \rvert$). Vďaka tomu $\lvert \sphericalangle MCF \rvert = \lvert \sphericalangle MBF \rvert= \alpha$.

Pokračujme jednoduchým pozorovaním, že $\lvert\sphericalangle CAF\rvert=180^\circ-\lvert \sphericalangle AFC \rvert - \lvert \sphericalangle ACF \rvert=90^\circ-\alpha$, a teda $\lvert\sphericalangle AMB\rvert=180^\circ-\lvert \sphericalangle MAB \rvert - \lvert \sphericalangle ABM \rvert=90^\circ$. Zároveň však zo zhodnosti trojuholníkov $MAB$ a $FAC$ podľa vety usu (pripomeňme, že $\lvert MB \rvert = \lvert CF \rvert$) dostávame, že $\lvert AF \rvert = \lvert AM \rvert$. Z rovnoramennosti trojuholníka $AMF$, dostávame, že $\lvert\sphericalangle AMF\rvert=\lvert \sphericalangle AFM \rvert=2\alpha$, a teda $3\alpha=90^\circ$, preto $\alpha=30^\circ$.

Vďaka tomu $\lvert \sphericalangle CAB \rvert = 90^\circ-30^\circ = 60^\circ = 2\cdot30^\circ=\lvert \sphericalangle ABC \rvert$, čiže trojuholník je rovnostranný.

****