Opravovatelia

Adri [email protected]

Baška [email protected]

Označme si políčka zľava doprava $A$ až $J$, teda uvedená nerovnosť je $AF>G>H>I>J$.

Žiadne z dopĺňaných čísel nie je menšie ako $1$, preto obe čísla $1$ musia byť na takých políčkach, od ktorých nie je žiadne menšie (nazývame ich minimálnymi). To sú jedine políčka $A$ a $J$.

Podobne žiadne z dopĺňaných čísel nie je väčšie ako $9$, preto $9$ musí byť na takom políčku, od ktorého nie je žiadne väčšie (nazývame ho maximálnym). To je políčko $E$.

Ostáva nám umiestniť čísla $3$, $4$, $5$, $5$, $6$, $7$ a $8$. Nerovnosť vyzerá takto: $1<B\leq C<D<9>F>G>H>I>1$.

Na políčkach $F$, $G$, $H$ a $I$ určite nemôžu byť dve čísla $5$, keďže žiadne z týchto políčok sa nemôžu rovnať. Preto aspoň jedno z čísel $5$ musí byť na niektorom z políčok $B$, $C$, $D$.

Ak je tam práve jedno číslo 5, môžu tam s ním byť ľubovoľné dve iné čísla z tých, ktoré nám ostali ($3$, $4$, $6$, $7$ a $8$). Poradie, v akom budú, je jednoznačné, keďže všetky sú rôzne, musia byť zoradené od najmenšieho po najväčšie. Na políčkach $F$, $G$, $H$, $I$ potom bude druhé číslo $5$ a tie čísla, ktoré ostali. Poradie bude opäť jednoznačné, tentokrát musia byť zoradené od najväčšieho po najmenšie. Počet rozdelení tohto typu je teda rovný počtu spôsobov, ako vybrať dve čísla z piatich. To je $\binom{5}{2}=\frac{5!}{2!\cdot 3!}=10$ spôsobov¹.

Ak sú na políčkach $B$, $C$ a $D$ dve čísla $5$, musia byť na políčkach $B$ a $C$, keďže len tieto dve políčka sa môžu rovnať. Potom $D$ je od nich väčšie. Na políčku $D$ preto môže byť číslo $6$, $7$ alebo $8$, to sú teda ďalšie tri spôsoby (poradie ostatných čísel, ktoré budú na políčkach $F$, $G$, $H$ a $I$, je opäť jednoznačné). Dokopy teda vieme čísla do políčok umiestniť $13$ spôsobmi.