Opravovatelia

Baška [email protected]

Brian [email protected]

Na začiatok si vieme všimnúť, že rovnicu $a^2+p^2=b^2$ si vieme prepísať ako $p^2=b^2-a^2=(b+a)(b-a)$. A keďže obe zátvorky nemôžu byť súčasne $p$, tak $b+a=p^2$ a $b-a=1$. To môžeme vidieť z toho, že $p$ je prvočíslo, takže buď delí obe zátvorky alebo $p^2$ delí jednu z nich a keďže zátvorka $b+a$ je väčšia ako $b-a$, tak môže deliť len ju.

Ak dáme tieto dve rovnice dohromady, dostaneme $$\begin{align} b-a&=1,\ b+a&=p^2,\ b+b-1&=p^2,\ 2b-1&=p^2,\ b&=\frac{p^2-1}{2}.\end{align}$$

To môžeme dosadiť do výrazu zo zadania a dostaneme $$2\left(\frac{p^2-1}{2}+p\right)=p^2+2p+1=(p+1)^2.$$ Teda výraz $2(b+p)$ je skutočne druhou mocninou celého čísla.

Iné riešenie

Na to aby sme dokázali, že výraz $2(b + p)$ je druhou mocninou celého čísla, si môžeme výraz upraviť na $n = \sqrt{2}\sqrt{b + p}$, keďže súčet $b + p$ musí byť kladný, tak zápornú hodnotu upraveného výrazu môžeme odignorovať. Následne môžeme vidieť, že nám stačí dokázať, že $b + p$ je dvojnásobok druhej mocniny celého čísla.

Dôležitým pozorovaním je, že hodnoty $a, p, b$ tvoria Pytagorejskú trojicu. Následne nám vie výrazne pomôcť využitie vzťahu $(2mn) ^ 2 + (m^2 - n^2)^2 = (m^2 + n^2) ^ 2$ tiež známeho ako Euklidov vzorec pre Pytagorejské trojice, pomocou ktorého vieme substituovať jednotlivé hodnoty v trojici kladných celých čísel $a, p, b$ ako $a=2mn$, $p = m^2 - n^2$, $b=m^2 + n^2$ pre Pytagorovu vetu $a^2 + p^2 = b^2$. Táto substitúcia je jednoznačne určená, keďže $p$ je nepárne, teda nemôže byť substituované ako $p=2mn$. Nepárnosť $p$ môžeme vidieť napríklad z faktu, že neexistuje žiadna Pytagorejská trojica obsahujúca $2$, teda jediné párne prvočíslo.

Keď sa teraz pozrieme na súčet $p+b$, tak dostaneme $p+b=m^2-n^2+m^2+n^2=2m^2$, teda $p+b$ je dvojnásobok druhej mocniny celého čísla. Ak to vrátime späť do odmocnenej rovnice, získame $$n = \sqrt{2}\sqrt{b + p}=\sqrt{2}\sqrt{2m^2}=2m.$$