Opravovatelia

Kopy [email protected]

Naťa [email protected]

Keď prehýbame body na iné miesta, tak sa nám tam prenášajú aj uhly, aj dĺžky strán od prehybov. Taktiež by sme mohli povedať, že body, strany a uhly sú osovo súmerné, kde os súmernosti je priamka ohybu. Takže, keďže sme prehli bod $C$ na bod $D$, vieme, že $|CX| = |XD|$ a keďže sme prehli bod $B$ na bod $X$, tak vieme, že $|XD| = |DB|$. Preto platí, že $|CX| = |XD| = |DB|$. Keďže trojuholník $ABC$ vznikol prehnutím štvorca cez uhlopriečku, tak uhol pri vrchole $B$ bude mať veľkosť $45^\circ$. Vďaka zohnutiu bodu $B$ do bodu $X$ bude platiť, že $|\sphericalangle DBX|=|\sphericalangle DXB|=45^\circ$. Z tohto následne vieme dopočítať tretí uhol v tomto trojuholníku ako $|\sphericalangle XDB|=180^\circ - 45^\circ -45^\circ = 90^\circ$.

Označme si dĺžku strán $|BD|=|DX|=|XC|=a$. Trojuholník $BDX$ je rovnoramenný pravouhlý s odvesnami dĺžky $a$. Jeho prepona bude mať teda z Pytagorovej vety veľkosť $\sqrt{2} a$. Podobne z Pytagorovej vety si vieme vypočítať dĺžku uhlopriečky pôvodného štvorca. Vyjde nám, že má dĺžku $24\sqrt{2}$. Túto dĺžku teda vieme vyjadriť dvoma rôznymi spôsobmi ako $$24\sqrt{2}=|BC|=|CX|+|XB|=a+\sqrt{2}a,$$ z čoho dostaneme, že $$a=\frac{24\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}.$$ Z tohto vieme následne zistiť dĺžku úsečky $AD$ ako $$\begin{align} |AD|&=|AB|-|DB|=24-\frac{24\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}},\ |AD|&=24-\frac{24\sqrt{2}\left(1-\sqrt{2}\right)}{1-2},\ |AD|&=24+24\sqrt{2}-24\cdot 2,\ |AD|&=24\cdot\left(\sqrt{2}-1\right),\end{align}$$ Pričom úpravu z prvého riadku na druhý riadok sme spravili vďaka rozšíreniu zlomku výrazom $1-\sqrt{2}$.

****

Iné riešenie

Keďže máme zadané presné dĺžky strán a v obrázku sa nikde nenachádza „bod voľnosti“, niekedy sa môže oplatiť využiť k riešeniu goniometriu. Najprv si všimneme, že uhly pri vrcholoch $B$ a $C$ v trojuholníku $ABC$ majú veľkosť $45^\circ$.

Prehyb, ktorý prehne bod $B$ do $X$, zároveň prenesie tento uhol, a teda $|\sphericalangle BXD|=|\sphericalangle XBD|=45^\circ$. Z toho vieme dopočítať tretí uhol v tomto trojuholníku ako $|\sphericalangle XDB|=180^\circ-45^\circ-45^\circ=90^\circ$.

Označme si druhý bod prehybu bodu $C$ do $D$ ako $Y$. Z toho, že trojuholník $YDX$ je len prehnutý $YCX$, tak bude platiť, že $|\sphericalangle XDY|=|\sphericalangle XCY|=45^\circ$ a $|CY|=|YD|$.

Z toho vieme vypočítať veľkosť uhla $ADY$ ako $|\sphericalangle ADY|=|\sphericalangle ADB|-|\sphericalangle XDB|-|\sphericalangle YDX|=180^\circ-90^\circ-45^\circ=45^\circ$. Z trojuholníka $ADY$ vieme odvodiť, že $|\sphericalangle AYD|=180^\circ-90^\circ-45^\circ$. K nemu susedný uhol $CYD$ bude mať teda veľkosť $180^\circ-45^\circ=135^\circ$.

Vieme z prehnutia, že trojuholník $CYD$ je rovnoramenný, a teda v ňom uhly pri vrcholoch $C$ a $D$ budú oba mať veľkosť $\frac{180^\circ-135^\circ}{2}=22^\circ 30’$. Z vlastností funkcie tangens v pravouhlom trojuholníku $CAD$ vieme teda zistiť veľkosť strany $AD$ nasledovne: $$\begin{align} \tan{22^\circ30’}&=\frac{|AD|}{|CA|},\ |AD|&=|CA|\cdot\tan{22^\circ30’},\ |AD|&=24\cdot\left(\sqrt{2}-1\right).\end{align}$$ Táto vyčíslená hodnota tangensu k správnemu riešeniu nie je nutná. Postačujúce je, ak odovzdáte riešenie vo forme predposledného riadka. Dá sa vypočítať napríklad použitím vety o tangense polovičného uhla. Uviedol som ju tu len pre overenie, že sa naozaj zhoduje s výsledkom z prvého riešenia.

****