5. Kombistanom Mašírujú Supervojaci $\left(\kappa \le 6\right)$
Zadanie
Mocnostní Dosahovači pri svojom pochode na Teóriu Čísel nelegálne prekročili hranice Kombistanu. Kombistanci odmietli nechať svoju krajinu zadupať do zeme, tak sa rozhodli niečo s tým urobiť. Zobrali svoje L-ká a začali ich deliť na menšie. Nikto netuší, ako im to pomôže, ale Kombistanci to aj tak nevzdávajú.
Ukážte, že pre všetky $n\geq9$ vieme L-ko (štvorec bez jednej štvrtiny, ako na obrázku) rozdeliť na $n$ podobných (nie nutne rovnako veľkých) L-iek.
****
Opravovatelia
Mati [email protected]
Ako prvú vec si všimneme, že $L$-ko je možné rozdeliť na $4$ a $6$ častí takto:
****
****
Ďalej, každým rozdelením $L$-ka na $4$ časti nám pribudnú $3$ $L$-ká do počtu a každým rozdelením na $6$ pribudne $5$ $L$-iek.
Potrebujeme zahrnúť každé $n\geq 9$. To vieme dostať pridávaním násobku $3$ k trom prípadom:
- Zvyšok po delení troma je $0$.
Počiatočné $L$ rozdelíme na $6$ častí (počet $L$-jek zvýšime o $5$) a následne nejaké z nich rozdelíme na $4$ (pridáme $3$), máme teda $1+5+3 = 9$ častí.
****
- Zvyšok po delení troma je $1$.
Počiatočné $L$ rozdelíme na $4$ a potom dve z nich rozdelíme opäť na $4$, máme teda $1+3+3+3 = 10$ častí.
****
- Zvyšok po delení troma je $2$.
Počiatočné $L$ rozdelíme na $6$ častí, nejakú z nich opäť na $6$, do tretice dostávame $1+5+5 = 11$ častí.
****
Keďže v každom prípade vieme niektorý z útvarov tvaru $L$ rozdeliť na $4$, čím sa nám počet $L$-iek zvýši o $3$, tak sme schopní dosiahnuť každé číslo, ktoré je aspoň $9$.
