Opravovatelia

Mati [email protected]

Sebík [email protected]

Na začiatok si uvedomme, že $x\neq y$ a $x \neq -y$. Podobne pre ostatné dvojice, inak by výraz v menovateli nebol definovaný. Dobre, roznásobme zátvorky v menovateľoch a upravme na spoločný menovateľ. Dostávame $$\frac{(y^2-z^2)(z^2-x^2)+(x^2-y^2)(z^2-x^2)+(x^2-y^2)(y^2-z^2)}{(x^2-y^2)(y^2-z^2)(z^2-x^2)}=0.$$

Teraz môžeme rovnicu vynásobiť nenulovým menovateľom a dostávame tvar $$(y^2-z^2)(z^2-x^2)+(x^2-y^2)(z^2-x^2)+(x^2-y^2)(y^2-z^2)=0.$$

Ďalej sa dalo postupovať rôzne, no ukazuje sa, že relatívne pekne fungovalo zatnúť zuby a roznásobiť to¹. My zatneme zuby a dostaneme $$(y^2z^2-z^4-x^2y^2+x^2z^2)+(x^2z^2-y^2z^2-x^4+x^2y^2)+(x^2y^2-y^4-z^2x^2+z^2y^2)=0.$$

Sčítame rovnaké členy, prenásobíme $-1$ a dostávame $$x^4+y^4+z^4-y^2z^2-x^2y^2-x^2z^2=0$$

Nasleduje drobný trik, ktorý je hlavnou pointou celej úlohy a vcelku sa ho oplatí poznať. Prenásobením rovnice dvomi a preusporiadaním dostávame $$x^4-2x^2y^2+y^4+y^4-2y^2z^2+z^4+z^4-2z^2x^2+x^4=0,$$ čo vieme upraviť na štvorce a dostať $$(x^2-y^2)^2+(y^2-z^2)^2+(z^2-x^2)^2=0.$$

Tento výraz má riešenie, iba ak $x^2=y^2$, tzn. $x=y$ alebo $x=-y$. Avšak na začiatku sme si povedali, že žiaden z týchto prípadov nespĺňa pôvodnú rovnicu, lebo preň nie je definovaná.