Opravovatelia

Denys [email protected]

Bohdan [email protected]

Zapíšme si výraz $2^2+p^2+q^2=4+p^2+q^2$. Úloha sa nás pýta, kedy je $4+p^2+q^2$ prvočíslo.

Prvé, čo si môžeme všimnúť, je, že naše prvočíslo nie je úplne malé. $4+p^2+q^2>4$, keďže $p,q$ sú prvočísla, a teda kladné celé čísla. Z toho nám vyplýva napríklad, že $4+p^2+q^2$ nie je $2$ alebo $3$. Načo by nám to bolo?

Ak $4+p^2+q^2$ nie je $2$, tak nemôže byť deliteľné číslom $2$ — inak by to nebolo prvočíslo. Ale kedy môže byť $4+p^2+q^2$ nepárne? Spomenieme si, že

• súčet párneho a párneho čísla je párne číslo,

• súčet nepárneho a nepárneho čísla je párne číslo,

• súčet párneho a nepárneho čísla je nepárne číslo.

Potom si vieme všimnúť, že $4+(p^2+q^2)$ je nepárne práve vtedy keď $p^2+q^2$ je nepárne. Jedinou možnosťou, aby $p^2+q^2$ bolo nepárne, je, aby jedno z čísel $p^2,q^2$ bolo párne a jedno nepárne. Ale druhá mocnina celého čísla je párna práve vtedy, keď číslo je párne.

Čiže práve jedno z čísel $p,q$ je párne. Ale zároveň si pamätáme, že $p,q$ sú prvočísla a jediné párne prvočíslo je $2$. Čiže práve jedno z čísel $p,q$ je $2$.

Všimnime si taktiež, že ak dvojica $(p,q)$ je riešenie rovnice, tak aj dvojica $(q,p)$ je riešenie. Takže teraz si zvolíme $p=2$ — prípad $q=2$ bude absolútne symetrický¹.

Čiže $2^2+2^2+q^2=8+q^2$ je prvočíslo. Vieme spraviť podobnú úvahu, ako deliteľnosť dvomi?

Skúsme to s trojkou. Pre $q$ máme 3 možnosti:

• $q$ má zvyšok $0$ pri delení $3$: Keďže $q$ je prvočíslo, tak nutne $q=3$, lebo iné prvočísla nemôžu byť deliteľné tromi. $8+3^2=17$, čo je prvočíslo. Čiže $(p,q)=(2,3)$ je riešenie.

• $q$ má zvyšok $1$ pri delení $3$: Potom vieme zapísať $q=3k+1$ pre nejaké celé $k$. Teraz $8+q^2=8+(3k+1)^2=8+9k^2+6k+1=9k^2+6k+9=3(3k^2+2k+3)$, čo je číslo určite väčšie ako 3, ale deliteľné tromi. Takže toto číslo nemôže byť prvočíslom.

• $q$ má zvyšok $2$ pri delení $3$: Potom vieme zapísať $q=3k+2$ pre nejaké celé $k$. Teraz $8+q^2=8+(3k+2)^2=8+9k^2+6k+4=9k^2+6k+12=3(3k^2+2k+4)$, čo je číslo opäť väčšie ako 3, ale deliteľné tromi. Takže ani toto číslo nemôže byť prvočíslom.

Čiže sme vyskúšali všetky možnosti a zistili, že jediné riešenia sú $(2,3)$ a nezabudnime, aj $(3,2)$, podľa toho, čo sme povedali vyššie.