4. Krásny Mocný Sluha
Zadanie
Na druhý deň kráľa opäť navštívila jeho dcéra. „Otecko, sluha ma zbalil. Môžem sa vydávať?“ Kráľa tento vývin udalostí znepokojil. Je správne vydať princeznú za obyčajného sluhu? Pravda, novomanžel by mohol vyplácať záchrancov miesto neho… V tom mu však spadli oči do kúta siene.
V kúte sa nachádza princeznina batožina, ktorá má tvar pravouhlého trojuholníka. Sluha princeznú zbalil do dvoch vyznačených oblastí s obsahmi $17$ a $7$. Ďalej sú na obrázku vyznačené pravé uhly a úsečky dĺžok $a$ a $b$ na rôznych častiach trojuholníkov. Nájdite súčin $a \cdot b$.
Opravovatelia
Matúš Zelko [email protected]
Petr Velyčko [email protected]
Označme si obsah štvoruholníka $AEHF$ ako $S$. Potom si uvedomme, že $S$ môžme spočítať dvoma rôznymi spôsobmi:
-
Pomocou obsahu trojuholníka $ABF$, od ktorého odčítame obsah trojuholníka $EBH$: $$S = \frac{1}{2}\left(a + b\right)\cdot b - 7;$$
-
Pomocou súčtu obsahov kosodĺžnika $FEGD$, s výškou o veľkosti $b$ a stranou o veľkosti $a$, a pravouhlého rovnostranného trojuholníka $AEF$, od ktorých odčítame obsah štvoruholníka $FHGD$: $$S = \frac{b^2}{2} + ab - 17.$$
Pre úplnosť ukážme, že útvar $FEGD$ je skutočne kosodĺžnik. Vďaka pravým uhlom pri bodoch $A$ a $E$ sú strany $FD$ a $EG$ rovnobežné. Keďže trojuholníky $AEF$ a $ABD$ sú podobné (sú to rovnoramenné pravouhlé trojuholníky), tak aj strany $DG$ a $FE$ sú rovnobežné.
Tieto dve hodnoty sa rovnajú, a preto môžme zapísať vzťah pre pravé strany oboch rovníc: $$\frac{1}{2}(a + b)\cdot b - 7 = \frac{b^2}{2} + ab - 17.$$ Z tejto rovnosti následne ekvivalentnými úpravami dostaneme $$\frac{ab}{2} = 10,$$ odkiaľ vynásobením dvojkou už dostávame požadovanú hodnotu $$ab = 20.$$
