Opravovatelia

Mišo M. [email protected]

Iľo [email protected]

Označme $k$ kružnicu opísanú trojuholníku $ABP$ a $l$ kružnicu opísanú $ACP$. Ich priesečníky s priamkou $BC$, rôzne od bodov $B, C$ označíme postupne $D, E$. Keďže pracujeme s dvoma kružnicami a snažíme sa vypátrať niečo o dĺžkach úsečiek, vhodným nástrojom by pre nás mohla byť mocnosť bodu ku kružnici.

Pre bod $B$ a kružnicu $l$ dostaneme vzťah $$|BA| \cdot |BY| = |BE| \cdot |BC|.$$ Pre bod $C$ a kružnicu $k$ dostaneme $$|CA| \cdot |CX| = |CD| \cdot |CB|.$$ Z prvej rovnosti vyjadríme $|BY|$, z druhej $|CX|$, čím dostaneme $$\begin{align} |BY| &= \frac{|BE|}{|BA|} \cdot |BC|,\ |CX| &= \frac{|CD|}{|CA|} \cdot |BC|. \end{align}$$ Takže na dôkaz, že $|BY| = |CX|$ nám teda stačí overiť, že $$\frac{|BE|}{|BA|} = \frac{|CD|}{|CA|},$$ čo je ekvivalentné s $$\frac{|BE|}{|CD|} = \frac{|BA|}{|CA|}.$$

Otázkou ostáva, ako sa k danému vzťahu dopracovať. Zatiaľ sme nijak nevyužili, že bod $P$ je stredom vpísanej kružnice, čo okrem iného znamená, že $AP$ je os uhla. Označme jej priesečník so stranou $BC$ ako $F$. Tento bod je výhodný v tom, že preň už máme vyznačené všetky body, ktoré by sa nám mohli hodiť na počítanie mocnosti. Zároveň si môžeme všimnúť, že $AP$ je tetiva spoločná pre obe kružnice, z čoho môžeme vyvodiť, že $F$ bude mať rovnakú mocnosť ku $k$ aj $l$. Konkrétne môžeme písať $$|FC| \cdot |FE| = |FP| \cdot |FA| = |FB| \cdot |FD|.$$

Teraz využijeme fakt, že $AP$ je os uhla. Pre tú platí, že rozdeľuje protiľahlú stranu v rovnakom pomere, ako je pomer zvyšných dvoch strán. V našom prípade $$\frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|FB|}{|FC|} = \frac{|FE|}{|FD|},$$ pričom druhú rovnosť sme dostali úpravou vzťahu pre mocnosť vyššie.

Môžeme si všimnúť, že pomer $|AB|:|AC|$ nás skutočne zaujíma. Ak by nám vyšiel rovnaký ako $|BE|:|CD|$, úlohu sme úspešne dokončili. Na to sa však potrebujeme zbaviť bodu $F$, pre ktorý síce poznáme pomery rovné $|AB|:|AC|$, no ktorý sa v cielenom vzťahu nenachádza.

Na to využijeme menší algebraický trik. Pre zlomky $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ totiž platí¹ aj $$\frac{a}{b} = \frac{a + c}{b + d}.$$

V našom prípade pre $\frac{|FB|}{|FC|} = \frac{|FE|}{|FD|}$ dostaneme $$\frac{|FB|}{|FC|} = \frac{|FB| + |FE|}{|FC| + |FD|}.$$ Uvedomme si ešte, že bod $F$ leží mimo úsečky $AP$ a teda musí ležať aj vonku z kružníc $k$ a $l$. Body $B$ a $D$ tak budú od neho na jednej strane priamky $BC$ a body $C, E$ na opačnej. Takže $|FB| + |FE| = |BE|$ a $|FC| + |FD| = |CD|$.

Keď tieto výrazy dosadíme do už známeho vyjadrenia $|AB|:|AC|$, dostaneme $$\frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|FB|}{|FC|} = \frac{|FB| + |FE|}{|FC| + |FD|} = \frac{|BE|}{|CD|},$$ čo sme skutočne chceli dokázať.