Autor: Lukáš Gáborik, [email protected]

Letná škola matematiky 2023

Teória

Definícia

Orientovaným uhlom medzi priamkami $p$ a $q$ nazývame uhol, o ktorý treba otočiť v kladnom smere (t. j. proti smeru hodinových ručičiek) priamku $p$, aby po otočení bola rovnobežná s priamkou $q$. Budeme ho značiť $\measuredangle(p, q)$.

Aby sa vám lepšie preorientovávalo zo značenia typu $\sphericalangle BAC$, odporúčam orientovaný uhol priamok $AB, AC$ značiť ako $\measuredangle(BA, AC)$, teda tak, že vrchol uhla je vždy bližšie k stredu. Zjednodušuje to čitateľnosť aj v tom zmysle, že pri prevode naspäť stačí čítať zľava doprava.

Uvedomte si, že otočením priamky o $180^\circ$ sa dostane do polohy, v ktorej je rovnobežná s pôvodnou, preto pripočítanie alebo odpočítanie násobku $180^\circ$ neovplyvňuje správnosť výsledku. Odteraz sa preto budeme na orientované uhly pozerať iba ako na „zvyšky“ po delení $180^\circ$.

Základné vlastnosti

1. $\measuredangle(AB, BC)\equiv180^\circ-\measuredangle(CB, BA)\equiv -\measuredangle(CB, BA)$
2. $\measuredangle(AS, SC)\equiv\measuredangle(AS, SB)+\measuredangle(BS, SC)$
3. $\measuredangle(AB, BC) + \measuredangle(BC, CA) + \measuredangle(CA, AB)\equiv0^\circ$

Súhlasné a striedavé uhly

Priamky $AB$ a $CD$ sú rovnobežné práve vtedy, keď \begin{equation} \measuredangle(AB, BD)\equiv\measuredangle(CD, DB). \end{equation}

Obvodový a stredový uhol

Nech body $A$, $B$, $C$ ležia na kružnici so stredom $O$. Potom \begin{equation} \measuredangle(AO, OB)\equiv2\measuredangle(AC, CB). \end{equation}

Úsekový uhol

Priamka $BX$ je dotyčnicou ku kružnici opísanej trojuholníku $ABC$ práve vtedy, keď \begin{equation} \measuredangle(AC, CB)\equiv\measuredangle(AB, BX). \end{equation}

Tetivové štvoruholníky

Štyri body $A, B, C, D$ ležia na kružnici práve vtedy, keď žiadne tri z nich neležia na spoločnej priamke a \begin{equation} \measuredangle(CA, AD)\equiv\measuredangle(CB, BD). \end{equation}

Úlohy

Ako riešiť

Na začiatok si nakreslite jednu konfiguráciu a vyriešte ju „klasicky“ (t. j. neorientovanými uhlami). Potom sa snažte zreplikovať tento postup v reči orientovaných uhlov. Aby ste sa vyhli chybám, skúste si každý krok zdôvodniť niečím z vyššie uvedeného. Keď už máte hotový postup v orientovaných uhloch, nakreslite si ešte jednu konfiguráciu a overte, či aj pri nej vaše riešenie funguje.

Úloha $1$

Dokážte (v orientovanej podobe) vetu o obvodovom a stredovom uhle.

Úloha $2$

Máme dané dve kružnice $k$ a $l$, ktoré sa pretínajú v bodoch $X$ a $Y$ . Bodom $X$ vedieme priamku, ktorá pretne kružnice $k$ a $l$ postupne v bodoch $A$ a $C$. Podobne vedieme priamku aj bodom $Y$. Tá pretne kružnice $k$ a $l$ postupne v bodoch $B$ a $D$. Dokážte, že $AB\parallel CD$.

Úloha $3$

Majme trojuholník $ABC$. Nech $K$ a $L$ sú päty kolmíc spustených z bodu $A$ postupne na osi uhlov $ABC$ a $BCA$. Dokážte, že $KL \parallel BC$.

Úloha $4$ (Miquelova veta)

Je daný trojuholník $ABC$. Na priamkach $BC$, $CA$, $AB$ postupne ležia body $X$, $Y$, $Z$. Dokážte, že kružnice opísané trojuholníkom $AYZ$, $XBZ$ a $XYC$ prechádzajú jedným bodom.

Úloha $5$ (KMS 44/Z1/8)

Kružnice $k, l$ sa pretínajú v bodoch $P\neq Q$. Na kružnici $k$ si zvoľme bod $M$. Priamky $MP,MQ$ pretínajú kružnicu $l$ postupne v bodoch $B,C$ rôznych od $P,Q$. Označme $X$ priesečník priamok $BQ$ a $CP$. Dokážte, že to, či $X$ leží na kružnici $k$, nezávisí od voľby bodu $M$ (tzn. je to dané iba polohou kružníc $k, l$). V prípade, že $X$ leží na kružnici $k$, dokážte navyše, že $BC$ je priemerom $l$.

Úloha $6$

V trojuholníku $ABC$ označíme $L$ a $M$ postupne body dotyku vpísanej kružnice so stranami $AC$ a $AB$. Stred vpísanej kružnice je $I$. Priesečník priamky $CI$ a $ML$ označíme $P$. Dokážte, že body $M, P, I, B$ ležia na kružnici.

Úloha $7$ (KMS 44/L1/7)

Na kružnici sú štyri body $A,B,C$ a $D$ tak, že $|AB|=|BC|=|CD|$. Osi uhlov $ABD$ a $ACD$ sa pretínajú v bode $E$ a priamky $AE, CD$ sú rovnobežné. Nájdite veľkosť uhla $ABC$.

Úloha $8$ (IMO Shortlist 2010, úloha G1)

Majme ostrouhlý trojuholník $ABC$. Nech $D, E, F$ sú päty výšok postupne z vrcholov $A, B, C$. Jeden z priesečníkov priamky $EF$ s kružnicou opísanou trojuholníku $ABC$ označme $P$. Priesečník priamok $BP$ a $DF$ označme $Q$. Ukážte, že $|AP|=|AQ|$.