1. úloha vzorové riešenie

Keďže máme dokazovať niečo o deliteľnosti, príde nám vhod pozrieť sa na zvyšky po delení \(5\)-timi. Skutočnosť, že dve čísla \(a\), \(b\) dávajú po delení \(5\)-timi rovnaký zvyšok, budeme zapisovať ako \(a \equiv b \pmod{5}\). Na začiatok sa pozrieme na zvyšky mocnín čísel \(2\) a \(3\) po delení \(5\)-timi:

[my-label]

Zvyšky sa od štvrtej mocniny (\(2^4\), \(3^4\)) začnú opakovať. Prečo je to tak? Vezmime si dve mocniny dvojky, ktoré nám dajú rovnaký zvyšok: \[2^0 \equiv 1 \pmod{5}, \quad 2^4 \equiv 1 \pmod{5}, \quad \text{teda} \quad 2^4=5k + 1.\] Ak chceme zistiť zvyšok nasledujúcej mocniny, tak stačí zvyšok pôvodnej vynásobiť dvomi. Dostaneme: \[2^5 \equiv (5k+1)\cdot2 \equiv 2\cdot 5k+2 \equiv 2 \pmod{5}.\] Člen \(2\cdot 5k\) po delení \(5\)-timi zjavne dá nulu, preto zvyšok po delení \(5\)-timi bude \(2\). Taktiež všeobecne, ak by sme chceli mocninu zvýšiť o \(n\), násobili by sme výrazom \(2^n\), no prvý člen by bol stále násobkom \(5\)-tich, teda dáva nulu (mod \(5\)). Preto stačí násobiť zvyšok, z toho ale máme \(2^{4+n} \equiv 2^n \pmod{5}\), teda zvyšky sa musia pravidelne opakovať. Podobne to bude fungovať pre trojku a \(3^n\).

Preto sa stačí pozrieť na prvé štyri riadky tabuľky, aby sme zistili aké sú možné kombinácie zvyškov po delení \(5\)-timi. Číslo \(2^n+3^m\) je deliteľné piatimi, ak je súčet zvyškov \(2^n\) a \(3^m\) po delení \(5\)-timi deliteľný \(5\)-timi. Rozoberme si teraz všetky možnosti, ktoré môžu nastať:

• ak \(2^n \equiv 1 \pmod{5}\), tak musí byť \(3^m \equiv 4 \pmod{5}\),

• ak \(2^n \equiv 2 \pmod{5}\), tak musí byť \(3^m \equiv 3 \pmod{5}\),

• ak \(2^n \equiv 3 \pmod{5}\), tak musí byť \(3^m \equiv 2 \pmod{5}\),

• ak \(2^n \equiv 4 \pmod{5}\), tak musí byť \(3^m \equiv 1 \pmod{5}\).

Čo sa stane, ak vymeníme \(n\) a \(m\)? V tabuľke sa môžeme presvedčiť, že nám to aj potom bude sedieť. Všade tam, kde trojka dáva zvyšok \(3\), nám dvojka dá zvyšok \(2\) a naopak, všetky mocniny, ktoré nám dajú z dvojky zvyšok \(2\), dávajú z trojky zvyšok \(3\). Máme teda súčet zvyškov \(2+3=5\).

Podobne, ak máme zvyšok \(2^n\) rovný štyrom, potom zvyšok \(3^m\) musí byť \(1\). No z tabuľky znova vidno, že ak vymeníme \(n\) a \(m\) tak iba meníme jednotky za štvorky a štvorky za jednotky, teda znovu dostaneme súčet \(5\).

Ukázali sme, že ak je \(2^n+3^m\) deliteľné piatimi, tak je aj \(2^m+3^n\) deliteľné piatimi.