6. Králik Maľuje Stenu vzorové riešenie

Pri riešení sústavy rovníc sú najužitočnejšie triky jej úprava, prípadne operácie ako sčítanie a odčítanie dvoch rovníc. Z úprav typicky dostávame rovnosť súčinov niekoľkých členov, z ktorých by sa aj niečo dalo vykrátiť, ale treba ošetriť prípady, kedy sa to rovná nule. Presne takýmto spôsobom budeme postupovať aj my. Spravíme pár úprav, niečo vydelíme, čím si bokom dáme nejaké špeciálne prípady a takto budeme pokračovať až kým nerozoberieme celú rovnicu.

Zlomky nám tentokrát nepomôžu, upravme preto rovnice na tvar: \[ \begin{aligned} yx^4 - 5y^3 &= 6x,\\ y^4x-5x^3 &=6y. \end{aligned} \] Rovnice teraz sčítame a výslednú rovnicu upravujeme: \[ \begin{aligned} yx^4+y^4x-5y^3-5x^3&=6x+6y,\\ xy(x^3+y^3)-5(x^3+y^3)&=6(x+y),\\ (xy-5)(x+y)(x^2-xy+y^2)&=6(x+y). \end{aligned} \] V prípade, že \(x=-y\), tak zátvorkou \((x+y)\) deliť nemôžeme, tento prípad ale ošetríme na konci, zatiaľ si preto rovnicu spokojne vydeľme: \[(xy-5)(x^2-xy+y^2)=6.\] Naopak, ak obe rovnice odčítame dostaneme: \[ \begin{aligned} yx^4-y^4x-5y^3+5x^3&=6x-6y,\\ xy(x^3-y^3)+5(x^3-y^3)&=6(x-y),\\ (xy+5)(x-y)(x^2-xy+y^2)&=6(x-y). \end{aligned} \] Tentokrát si odložíme prípad \(x=y\) a rovnicu vydelíme: \[(xy+5)(x^2-xy+y^2)=6.\] Porovnajme teraz ľavé strany nových rovníc, keďže pravé sa rovnajú: \[(xy+5)(x^2-xy+y^2)=(xy-5)(x^2-xy+y^2).\] Na oboch stranách sa nachádza výraz \((x^2-xy+y^2)\). Môže tento výraz byť nulový? Ak áno, kedy?

Odpoveďou je, že nulový nebude, uveďme si dva spôsoby, ako to dokázať:

• Priamočiaro ho vieme upraviť na tvar \[\left(\frac{x}{\sqrt{2}} - \frac{y}{\sqrt{2}}\right)^2 + \frac{1}{2}(x^2+y^2).\] Oba členy sú zjavne nezáporné (štvorce), preto ak by sa celý výraz mal rovnať \(0\), tak sa obe zátvorky musia rovnať \(0\), čo spĺňa len prípad \(x=y=0\).
• Prvý spôsob celkom pôsobí, že padol z neba, a ak nás toto nenapadlo, mohli sme postupovať nasledovne: Ak \(x^2-xy+y^2=0\), tak \(x^2+y^2=xy\), z čoho vyplýva, že \(xy\) je tiež nezáporné (ľavá strana je nezáporná, tak musí byť aj pravá). Potom už len výraz doplníme na štvorec: \(x^2 -2xy + y^2 +xy = (x-y)^2 +xy = 0\). Opäť dostávame súčet dvoch členov, ktoré musia byť oba nulové aby platila rovnosť, čo nastáva rovnako v prípade \(x=y=0\).

Z posledných dvoch paragrafov vyplýva, že môžeme zátvorkou \(x^2-xy+y^2\) beztrestne deliť, keďže daný prípad \(x=y\) ošetríme na konci. Ostane nám rovnica: \[xy+5 = xy-5 \quad\rightarrow\quad 5=-5.\] Preto táto vetva nemá riešenie a všetky riešenia rovníc budú tie, kedy zátvorky ktorými sme delili budú nulové.

Na záver nám ostáva preto vyšetriť dva prípady: \(x=y\) a \(x=-y\). Ak \(x=y\), obe rovnice zo zadania majú tvar po odstránení zlomkov: \[x^4-5x^2-6=0.\] Takúto rovnicu vieme upraviť na tvar: \[(x^2 - 6)(x^2 +1)=0.\] Z neho dostávame riešenie \(x=y=\pm\sqrt{6}\) (keď je prvá zátvorka nulová, druhá totiž nulová nikdy nebude). Ak máte pocit, že úprava opäť padla z neba, takéto rovnice sa dajú počítať aj tak, že si zavedieme substitúciu \(a=x^2\) a potom vyriešime kvadratickú rovnicu v \(a\) (napr. výpočtom diskriminantu) a potom spätne vyjadríme \(x\).

Veľmi podobne prípad \(x=-y\): \[ \begin{aligned} x^4-5x^2+6=0,\\ (x^2 - 3)(x^2 - 2)=0, \end{aligned} \] kedy \(x\) môže byť \(\pm\sqrt{3}\) a \(\pm\sqrt{2}\).

Ak to celé dáme dokopy, dostávame šesť riešení: \[(x,y) \in \{ (\sqrt{2},-\sqrt{2}),(-\sqrt{2},\sqrt{2}),(\sqrt{3},-\sqrt{3}), (-\sqrt{3},\sqrt{3}),(\sqrt{6},\sqrt{6}),(-\sqrt{6},-\sqrt{6}) \}.\]