1. Kreatívne Mirove Schopnosti (κ ≤ 1) vzorové riešenie

Ako sa píše v zadaní, Mr. Miro je slávny svojou dokonalou dedukciou, v tomto prípade to však, ako si ukážeme, nemal až také ťažké. Začať mohol napríklad tým, že sa zamyslel ako vlastne tá priamka náš rovnobežník pretína. Keď priamka pretneme dve susedné strany (niekde na strane, nie vo vrchole), dostaneme trojuholník a päťuholník. Keď podobným štýlom pretneme dve protiľahlé strany, dostaneme dva štvoruholníky (presne to potrebujeme). Ľahko odskúšame, aké všetky rôzne dvojice $n$-uholníkov vieme pretínaním dostať, no zistíme že spôsob, ako dostať dva štvoruholníky, je jediný.

Super, naša deliaca priamka teda pretne dve protiľahlé strany. Keďže robíme s rovnobežníkom, vieme že tieto strany budú rovnobežné. Výsledné dva štvoruholníky teda nebudú len tak hocijaké, budú to lichobežníky. Vzorec na výpočet obsahu lichobežníka je $S = \frac{1}{2}v(a+c)$. Čo tieto písmenká znamenajú? Písmenká $a$ a $c$ sú dĺžky dvoch rovnobežných strán lichobežníka. Výška lichobežníka je $v$, teda vzdialenosť dvoch rovnobežných strán. Tento vzorec si viete sami jednoducho odvodiť, kľudne si to vyskúšajte. Zo vzorčeka vidíme, že pri počítaní obsahu nás vlastne trápi iba súčet rovnobežných strán a ich vzdialenosť. Nič iné, čo by sa mohlo meniť, totiž výsledok neovplyvňuje.

Povedzme si, že náš pôvodný rovnobežník mal vrcholy $A$, $B$, $C$, $D$ a že priamka $p$, ktorou ho delíme, pretína strany $AB$ a $CD$ postupne v bodoch $X$ a $Y$. Oba lichobežníky, ktoré dostaneme, tak budú mať časť strany $AB$ aj časť strany $CD$, spoločnú stranu $XY$ plus jednu celú pôvodnú stranu rovnobežníka ($AC$ alebo $BD$). Kľudne si to nakreslite. Oba lichobežníky budú mať rovnako dlhú výšku (vzdialenosť $AB$ a $CD$).

Teraz sa môžme vrátiť k vzorcu obsahu lichobežníka. Obsahy oboch lichobežníkov majú byť rovnaké, dáme si teda dva vzorce do rovnosti. Aby sa nám to neplietlo, označíme si dve časti strany $AB$ ako $a_1$, $a_2$ a dve časti strany $CD$ ako $c_1$, $c_2$. Pritom strany $a_1$ a $c_1$ budú v rovnakom štvrouholníku. $$\frac{1}{2}v(a_1 + c_1) = \frac{1}{2}v(a_2 + c_2)$$ Keďže v oboch lichobežníkoch je výška rovnaká, môžeme ňou predeliť obe strany rovnice (a keď už sme pri tom, predelíme ich aj tou jednou polovicou, nech nám nezavadzia). $$a_1 + c_1 = a_2 + c_2$$ Zostane nám na oboch stranách len súčet dvoch rovnobežných strán, ktorý je rovnaký. To znamená, že súčet dĺžok časti strany $AB$ a časti strany $CD$ v oboch štvoruholníkoch bude rovnaký. Rovnaká bude aj dĺžka ich spoločnej strany $XY$. Zostáva sa nám už len pozrieť na poslednú stranu, konkrétne $AD$ v prvom lichobežníku a $BC$ v druhom lichobežníku. Tie sú však protiľahlé strany rovnobežníka, s rovnakou dĺžkou. Ta-dá – ukázali sme, že obvody $o_1$ a $o_2$ oboch štvoruholníkov budú rovnaké a ani sme sa pri tom nezapotili. $$o_1 = |AD| + |XY| + a_1 + c_1 = |BC| + |XY| + a_2 + c_2 = o_2$$