7. Kúp Mac Sebe vzorové riešenie

Ako prvé si všimnime, že v úlohe máme veľa pravých uhlov – výšku, kolmicu. Aká veta je často vhodná pri pravých uhloch? Tálesova veta, ktorá hovorí, že ak \(A,\ B,\ C\) sú body na kružnici, kde \(AC\) je priemer kružnice, potom uhol \(ABC\) je pravý. Pozrime si, ktoré uhly sú pravé a kde môžeme vložiť kružnicu: uhol \(BHC\) (lebo výška), \(AHB\) (lebo výška), \(AMK\) (lebo kolmica).

Podľa Tálesovej vety platí, že body \(A,\ H,\ M,\ K\) ležia na kružnici s priemerom \(AK\). Ak si označíme stred \(AK\) ako bod \(S\), tak je to iba inými slovami povedané \(|SA|=|SK|=|SM|=|SH|\). Pozrime sa teraz zase na další pravý uhol – uhol \(BHC\). Rovnako ako minule, pomocou Tálesovej vety zistíme, že \(|MB|=|MC|=|MH|\).

Čo sme ešte nevyužili zo zadania? Vieme, že \(|\sphericalangle MAH|=30^\circ\). V tomto momente sa priamo núka využiť obvodový a stredový uhol. Pretože tieto tri body ležia na jednej kružnici, a keďže \(MH\) je tetiva kružnice, platí pre ňu, že obvodový uhol \(MAH\) je polovičný oproti stredovému uhlu \(MSH\). Preto \(|\sphericalangle MSH|=60^\circ\).

Načo je nám toto dobré? Prezrime si trojuholník \(HMS\). Ten má dve strany rovnaké a jeden uhol \(60^\circ\). Aký trojuholník to musí byť? Správne, rovnostranný.

Tým sa dostávame k riešeniu, pretože keďže rovnostranný trojuholník je známy tým, že má rovnaké strany, platí \(|MH|=|MS|=|HS|\). Teraz stačí len skombinovať všetky rovnice a riešenie je na svete: \[|BC|=|MB|+|MC|=2\cdot |MH|=2\cdot |SM|=2\cdot |SK|=|SK|+|SA|=|AK|.\]