Zadanie
Niektoré deti dostávajú darčeky podľa toho, ako boli dobré. V rodine Racionálnych však dostáva ich synček Racko darčeky podľa počtu racionálnych čísel. Najprv dostane od rodičov tabuľku \(50 \times 50\). Potom Racko označí jej riadky číslami \(a_1,\,a_2,\dots\,,\,a_{50}\) a stĺpce číslami \(b_1,\,b_2,\dots\,,\,b_{50}\), pričom týchto 100 čísel je navzájom rôznych a práve 50 z týchto 100 čísel je racionálnych. Potom umiestni do políčka v \(i\)-tom riadku a \(j\)-tom stĺpci číslo \(a_i+b_j\). Racko dostane pod stromček darček za každé racionálne číslo v tabuľke. Zistite, koľko najviac darčekov môže Racko dostať pod stromček.
Prvá vec, ktorá nás napadne, je fakt, že ak Racko píše do tabuľky práve \(50\) racionálnych čísel, zvyšných \(50\) musí byť iracionálnych. Z toho nás potom logicky bude zaujímať, aké rôzne čísla vieme vlastne súčtami racionálnych a iracionálnych čísel získať.
Racionálne číslo je také, ktoré vieme zapísať ako podiel dvoch celých čísel. Iracionálne nevieme. Súčet dvoch racionálnych čísel je vždy racionálny. Súčet racionálneho čísla s iracionálnym je vždy iracionálny (skúste si to sami dokázať). Súčet dvoch iracionálnych čísel je zaujímavý, lebo môže byť racionálny aj iracionálny.
V tomto prípade sa snažíme nájsť maximálny počet racionálnych súčtov, ktoré sa v tabuľke budú nachádzať, môžeme si teda iracionálne čísla napasovať tak, aby súčet dvoch bol vždy racionálny. To dosiahneme napríklad tak, že všetky iracionálne čísla v stĺpcoch budú mať tvar \(x + \pi\) a všetky iracionálne čísla v riadkoch budú mať tvar \(y - \pi\). \(x\) a \(y\) sú hocijaké racionálne čísla, avšak rôzne. \(\pi\) je nejaká iracionálna škaredosť, ktorá je všade rovnaká. Sčítavaním nám teda iracionálna časť vždy vypadne a ostane nám len racionálna časť.
Dobre teda, zrátajme si teraz, koľko akých súčtov dostaneme. Nazvime si počet racionálnych riadkov \(RR\), počet iracionálnych riadkov \(IR\), počet racionálnych stĺpcov \(RS\) a počet iracionálnych stĺpcov \(IS\). Počet racionálnych súčtov je počet políčok, kde sa stretnú dve racionálne alebo dve iracionálne čísla. Len tak na skúšku si rozdeľme racionálne a iracionálne čísla tak, že v stĺpcoch aj riadkoch bude z každého rovnako, teda \(25\). Racionálnych súčtov teda bude
\[RR \cdot RS + IR \cdot IS = 25 \cdot 25+25 \cdot 25 = 1250.\]
Podobne iracionálne súčty budú tam, kde sa stretne racionálne číslo s iracionálnym, teda
\[RR \cdot IS + IR \cdot RS = 25 \cdot 25+25 \cdot 25 = 1250.\]
Môžeme si všimnúť, že nikde neberieme do úvahy rozmiestnenie jednotlivých čísel v stĺpcoch a riadkoch. Nerobíme to náhodou, táto informácia je pre nás úplne zbytočná.
Máme teraz \(1250\) racionálnych súčtov. To nie je zlé, nejde to ale na viac? Vyskúšajme. Dajme tomu, že začneme s tými počtami, ktoré máme, teda \(RR=IR=RS=IS=25\). Chceme to ale vyrátať trocha všeobecnejšie, takže si tam pridáme parameter celé číslo \(n\), a to tak, že počet racionálnych riadkov bude teraz \(RR = 25+n\). Zvyšné riadky budú potom iracionálne a bude ich \(IR = 25 - n\). Celkový počet racionálnych čísel, ktoré Racko dopísal je stále \(50\), a tak koľko sme pridali/ubrali na riadkoch, musíme ubrať/pridať na stĺpcoch. Racionálnych stĺpcov tak bude \(RS = 25 - n\) a iracionálnych stĺpcov \(IS = 25 + n\).
Zrátajme teraz znovu, koľko bude racionálnych súčtov:
\[RR \cdot RS + IR \cdot IS = (25+n) \cdot (25-n)+(25-n) \cdot (25+n) = 1250 - 2n^2.\]
Bez veľkej námahy vidíme, že tento počet bude najväčší, keď \(2n^2=0\) a teda \(n=0\). A máme, čo sme chceli. Ak sa Racko posnaží, pod stromček môže dostať najviac \(1250\) darčekov, čo je fakt veľa, a ak mu rodičia nekúpia jedno Lego, Racko celkom vyhral.
Diskusia
Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.
Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.