6. Kde Mám Soby?! vzorové riešenie

Jedna rovnica o dvoch neznámych, a ešte k tomu v celých číslach. Na prvý pohľad komplikovaná úloha, tak skúsme sa na ňu zatiaľ laicky popozerať. Ľavá strana \(a^3 + b^3\) by mala rásť rýchlejšie ako pravá strana \(a^2+b^2+42ab\). To preto lebo od nejakého \(a_0\) je pre \(a>b\) aj \(a^3>a^2+42ab\) a od nejakého \(b_0\) aj \(b^3>b^2\). To by nám malo povedať niečo o konečnom počte riešení. Odskúšať všetky možnosti je však nepraktické. Ďalej sa dá nahliadnuť na to tak, že je to kubická rovnica pre \(a\) s parametrom \(b\). Lenže pri počítaní diskriminantu tejto kubickej rovnice sa dopracujeme ku problému rátania koreňov polynómu šiesteho stupňa. To znie ako niečo čo nepôjde ľahko. Preto musíme zvoliť iný prístup k úlohe a nesnažiť sa ísť tvrdohlavo týmto smerom.

V takýchto úlohách je vhodné uvažovať súčiny. Ideálne súčiny čo sa majú rovnať prvočíslu. Pokúsme sa nájsť taký súčin. Môžme napríklad skúsiť rozdeliť \(a^3+b^3\) na súčin dvoch výrazov, takto: \((a+b)(a^2-ab+b^2)\). Teraz na ľavej strane by sme radi našli jeden z týchto súčiniteľov. Vidíme, že súčiniteľ \(a^2+b^2 - ab\) tam skoro je len si treba požičať extra \(-ab\). Takže naša rovnica bude zatiaľ vyzerať takto: \((a+b)(a^2-ab+b^2) = (a^2-ab+b^2) + 42ab +ab\). Jednoduchou úpravu dostaneme \[(a^2-ab+b^2)(a+b-1) = 43ab.\] Super, máme prvočíslo, teraz už môžme začať uvažovať.

Keďže sa ideme hrať s prvočíslami, a teda deliteľnosťou, tak sa nám hodí také niečo ako najväčší spoločný deliteľ čísel \(a\) a \(b\), budeme ho značiť \(NSD(a,b)\). Nech teda \(NSD(a,b)=d\) tak vieme vyjadriť naše premenné ako súčin dačo krát \(d\). \(a=dA\) a \(b=dB\). Našu rovnicu teda prepíšeme do tvaru \(d^2(A^2-AB+B^2)(dA+dB-1) = 43d^2AB\) a teda \((A^2-AB+B^2)(dA+dB-1) = 43AB\). Ľahko nahliadneme, že \(NSD(A^2-AB+B^2,AB)=1\) a teda máme dve možnosti: \[ \begin{aligned} A^2-AB+B^2&=43\text{,} \qquad (1)\\ A^2-AB+B^2&=1\text{.} \qquad (2) \end{aligned} \]

Najprv vybavíme rovnicu \((2)\) prepísaním na \((A-B)^2 + AB= 1\), keďže oba členy na ľavo sú nezáporné tak máme jediné riešenie tejto rovnice A=B=1. Teda aj a=b spätným dosadením do pôvodnej rovnice dostaneme \(2a^3=2a^2+42a^2\), čo je ekvivalentné s \(a^2(a-22)=0\), a teda riešenie je \(a=b=22\).

Teraz rovnica \((1)\). \(A^2-AB+B^2=43\). Túto rovnicu prepíšeme znovu na tvar \((A-B)^2 + AB = 43\). Ale z toho je jasné, že \((A-B)^2\le 43\) čo vieme prepísať na \(|A-B|\le6\). Keďže je pôvodná aj posledná rovnosť sú symetrické, môžeme písať \(A=k+B\) kde \(k \in \{0, 1, 2, \dots, 6\}\). Dosadíme a máme kvadratickú rovnicu s parametrom \(k\): \(A^2 -A(A-k)+(A-k)^2=43\). Teraz ju upravíme na nejaký krajší tvar. \(A^2 - Ak + K^2 - 43 = 0\). Aby mala celočíselné riešenie musí byť odmocnina z diskriminantu celá. Na domácu úlohu si rozmyslite prečo. Teda diskriminant samotný je štvorec nezáporného celého čísla. \(D=-3k^2+ 4\cdot 43\). Odtiaľto taktiež vidíme obmedzenie \(k<7\), lebo diskriminant nemôže byť záporný. Postupným dosadením \(k=0,1,2,\dots, 6\) dostaneme postupne takéto hodnoty diskriminantu \(172\), \(169\), \(160\), \(145\), \(124\), \(97\), \(64\). Odtiaľ vidíme, že jediné vyhovujúce čísla sú \(k=1\) a \(k=6\), a teda sa dopočítame k riešeniam pre \(k=1\): \(A=7\) alebo \(A=-6\), odkiaľ ľahko vidíme, že riešenie \(A=-6\) nevyhovuje. Pre \(k=6\) dostaneme zase tie isté riešenia: \(A=7\) a \(B=1\). Ďalej z úvahy o symetrickosti vieme, že nie sú riešenia len dvojice \([a,b]\) ale aj \([b,a]\). To ale znamená, že nemáme len riešenie \(a=7\) a \(b=1\) ale aj \(a=1\), \(b=7\).

Keďže sme overili všetky možnosti, tak jediné soby čo môžu cválať vedľa seba sú \([22,22], [1,7], [7,1]\).