9. Kvalitnejší Mirov Seminár vzorové riešenie

Máme nájsť všetky funkcie, pre ktoré platí daná rovnosť. Predpokladajme teda, že to nejaká konkrétna funkcia spĺňa. Keďže to spĺňa pre všetky reálne \(x\) a \(y\), spĺňa to aj pre ľubovoľné \(x\) a \(y\), ktoré tam dosadíme. Postupným dosádzaním šikovných kombinácií premenných \(x\) a \(y\) vytvoríme sadu podmienok, ktoré musí spĺňať každá funkcia, ktorá spĺňa našu rovnosť. Následne rôznymi úvahami o tejto sade podmienok (poprípade ďalšími šikovnými dosadeniami využívajúcimi už zistené vzťahy) môžeme získať cenné informácie a dúfať, že raz dostaneme explicitný predpis (alebo predpisy) našej funkcie. Keďže tento predpis musia spĺňať všetky funkcie vyhovujúce zadaniu, vieme, že tento predpis/-y je nutnou podmienkou existencie našej hľadanej funkcie/-ií.

Začnime dosadením dvojice \((x,y)=(0,0)\) (neskôr už tento zápis budeme používať skrátene), to je taký klasický začiatok, z ktorého chceme obvykle zistiť niečo o \(f(0)\). Po dosadení dostávame: \(f(0)=f(0)+f(f(0))\), a teda po úprave \(f(f(0))=0\). Nuž, nie je to zlé, ale mohlo to byť aj lepšie.

Skúsme trochu všeobecnejšiu dvojicu: \((x,0)\), kde \(x\) je ľubovoľné reálne číslo: \(f(x)=f(xf(0))-x+f(f(x))\). Ďalej môžeme skúsiť opačnú dvojicu \((0,x)\): \(f(xf(0))=f(0)+f(x+f(0))\). Označme \(c=f(0)\).

Nech \(c=0\). Potom z druhého vzťahu dostaneme \(f(x)=0\). Po dosadení do pôvodnej rovnice však vidíme, že takáto funkcia zadaniu nevyhovuje. Preto \(c \neq 0\) (tu vidíme, že nutnosť podmienky nezaručuje jej postačujúcosť).

Posvieťme si na druhú rovnicu bližšie. Máme \(f(cx)=c+f(x+c)\). Všimnime si, že ak \(c \neq 1\) (predpokladajme to), tak s meniacim sa \(x\)-om sa nám argument na ľavej strane mení inak rýchlo ako argument na pravej strane. Zároveň \(c \neq 0\) . Preto by sme vedeli nájsť také \(x\), pre ktoré by sa argumenty naľavo a napravo rovnali. \[cx = x+c \\ x = \frac{c}{c-1}\] Potom po dosadení tejto hodnoty do nášho vzťahu dostávame: \[f\left(\frac{c^2}{c-1}\right)=c+f\left(\frac{c^2}{c-1}\right),\quad \text{teda} \quad c=0,\] čo je spor s tým, čo už sme zistili. Preto \(c=f(0)=1\).

Pozrime sa, ako sa vďaka tomuto zisteniu zjednodušia naše dva základné vzťahy: \(x=f(f(x))\) z prvého vzťahu a \(f(x)= 1 + f(x+1)\) z druhého. Oba tieto vzťahy už sú pomerne veľavravné. Špeciálnu pozornosť by som kládol na ten prvý, ku ktorému ak sa vo funkcionálnej rovnici dostanete, tak už viete, že ste na dobrej ceste. Prečo? Tento vzťah totiž o funkcií prezrádza, že je zároveň prostá a zároveň surjektívna. K týmto dvom vlastnostiam sa človek dokáže dostať peknými úvahami (nechám na vás) alebo jednoducho tak, že surjektívnosť vyplýva jasne z toho, že za \(x\) vieme dosadiť hocičo a evidentne vieme nájsť takú hodnotu \(z\), pre ktorú je \(f(z)\) rovné \(x\). Prostosť vyplýva z nasledovnej jednoduchej myšlienky: nech \(k \neq l\) a nech \(f(k)=f(l)\). Dosaďte si to do \(x=f((x))\) a už uvidíte pravdu.

Druhý vzťah sám o sebe nie je až taký silný, ale dáva nám tip, ako by funkcia mohla vyzerať – konkrétne tu nás vedie k myšlienke, že funkcia by mohla byť \(f(x)=1-x\). Pozor! Toto čisto z tohto vzťahu ešte dokázať nevieme! Zamyslite sa, prečo (niektorým z vás bude stačiť, keď si prečítajú komentár k ich riešeniu).

Teraz už ale máme dosť silný arzenál na to, aby sme to naozaj dokázali. Stačí dosadiť dvojicu \((1,x) : f(1)= f(f(x))-1+f(x).\) Využijúc nami získané informácie z tohto dostávame: \(f(x)=1-x\).

Podobne sa vieme dopracovať k výsledku aj dosadením \((x,1) : f(x+f(x))= 1-x+f(1+f(x))\). Využijúc \(f(x)= 1+f(1+x)\) a \(f(f(x))=x\) dostaneme: \(f(x+f(x))=0\). Lenže my vieme, že \(f(1)=0\) (lebo \(f(1) = f(0)-1\)), a kedže funkcia je prostá, tak existuje iba jediný argument, pre ktorý \(f(argument)=0\), a teda to musí byť \(1\). Teda \(x+f(x)= 1\) alebo \(f(x)=1-x\).

Stačí nám už teraz overiť, či nami získaná podmienka pre funkciu (explicitný predpis) naozaj vyhovuje zadaniu – t. j. pre všeobecné hodnoty \((x,y)\) ukázať, že naša funkcia skutočne vyhovuje zadaniu. Tento krok už opäť nechám na čitateľa.

Poznámka: Táto úloha sa dala riešiť aj jednoduchšie, vlastne len čisto s dosadeniami, ja som ju naschvál vyriešil takto, aby som mohol ukázať celkom useful myšlienky o dosadeniach, ktoré si vypočítame, prostosti, surjektívnosti, vzťahu naznačujúcemu výsledok a následnému doklepnutiu.