Zadanie

Betka na rozlúčku s Kikou a Jožom napiekla štvorcový perník. Jožo a Kika sa o neho podelia nasledujúcim spôsobom. Najprv Jožo umiestni sviečku na perník, potom Kika spraví rez od sviečky niekam po okraj perníka. Následne Jožo spraví druhý rez od sviečky po okraj perníka tak, aby bol kolmý na Kikin rez. Ako výsledok máme perník rozdelený na dve časti, z ktorých Kika dostane menšiu časť. Ukážte, že Kika si môže vhodným rezom zabezpečiť získanie aspoň štvrtiny perníka bez ohľadu na to, čo spraví Jožo.

Sviečku si označme ako bod \(K\). Najprv ho Jožo umiestni niekam do štvorca \(ABCD\) (koláča). Rozdeľme si tento štvorec na \(4\) zhodné časti dvoma, na seba kolmými, priamkami prechádzajúcimi cez jeho stred a stredy jeho strán. Bod \(K\) (sviečka) sa po umiestnení môže nachádzať v ľubovoľnej štvrtine koláča, alebo v jeho strede. Predpokladajme, že sa nachádza v pravej hornej štvrtine alebo v strede. Ak by bola v ktorejkoľvek inej, stačí si koláč otočiť. Teraz je na rade Kika a reže od bodu \(K\) ku kraju koláča. V tejto chvíli jej odporúčame rezať k najvzdialenejšiemu bodu štvorca ktorým je bod \(A\), lebo tak zaručene dostane aspoň štvrtinu koláča. Hneď si ukážeme prečo.

Jožo má teraz dve možnosti ako viesť svoj rez. Ešte predtým ako si jednu vyberie však do štvorca dokreslime dva trojuholníky obsahujúce Kikin rez a jednu stranu štvorca. Konkrétne trojuholníky \(ABK\) a \(AKD\). Obsah týchto trojuholníkov bude zaručene väčší alebo rovnaký ako štvrtina štvorca. To môžeme vidieť z trojuholníkov \(ABS\) a \(ASD\), ktoré majú s danými trojuholníkmi spoločnú základňu. Výšky trojuholníkov \(ABK\) a \(AKD\) sú väčšie alebo rovnaké ako výšky trojuholníkov \(ABS\) a \(ASD\). Trojuholníky \(ABS\) a \(ASD\) majú obsahy rovné jednej štvrtine, takže obsahy \(ABK\) a \(AKD\) budú väčšie alebo rovné jednej štvrtine (to že obsahy trojuholníkov \(ABS\) a \(ASD\) sú rovné štvrtine obsahu štvorca by ste mali vidieť celkom ľahko).

Vráťme sa teraz k Jožovi, ktorý sa rozhoduje na ktorú stranu od Kikinho rezu bude viesť svoj kolmý rez. Nech ale spraví rez na ktorúkoľvek stranu, obe časti takto predeleného koláča budú obsahovať práve jeden z trojuholníkov \(ABK\) a \(AKD\), o ktorých sme si práve ukázali, že sú väčšie alebo rovnaké ako štvrtina štvorca. Obe časti koláča majú teda aspoň jednu štvrtinu a Kika môže byť v kľude.

Diskusia

Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.

Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.