Zadanie
Tomáš a Tomáš si stavajú vežu z dominových kociek. Veža pozostáva z niekoľkých poschodí a na každom poschodí sa nachádza niekoľko kociek. Na začiatku veža pozostáva z jedného poschodia obsahujúceho jednu kocku. Hru začína Tomáš a následne sa s Tomášom striedajú v ťahoch. Hru vyhráva Tomáš, ktorý ako prvý postaví 42. poschodie. V jednom ťahu spraví Tomáš na ťahu práve jednu z nasledovných možností:
Vyberie si poschodie, na ktorom je aspoň jedna kocka, a počet kociek na tomto poschodí strojnásobí.
Vyberie si poschodie, na ktorom je aspoň jedna kocka, a pridá tam 5 kociek.
Pokiaľ je na najvrchnejšom poschodí počet kociek deliteľný 17, môže vytvoriť nové poschodie, na ktoré uloží jednu sedemnástinu kociek z poschodia pred ním.
Keď už ich veža mala 17 poschodí, prišiel Miro, vežu im zbúral a zadal im nasledovnú úlohu: Nájdite všetky funkcie \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) také, že pre ľubovoľné dve reálne čísla \(x\), \(y\) platí \[f(x + y)f(x^2 -xy + y^2) = x^3 + y^3.\]
Po chvíľke zamyslenia zistíme, že ak hru niekto môže vyhrať, tak je to Tomáš. Tak poďme na to.
Predpokladajme že Tomáš má víťaznú stratégiu, ľahko si rozmyslíme, že potom už musí platiť veľmi jednoducho BUM!!, PRÁSK!, TRESK!!!, !!!...
Hmmmmmmm, vežu už nevidíme, riešenie nemá zmysel, tak poďme aspoň nájsť zmysel funkcionálky.
Na začiatok dosaďme1 postupne \([0,0], [1,0]\): \[\begin{aligned} f(0)f(0)&=0, \\ f(1)f(1)&=1.\end{aligned}\] Z prvého vidíme, že \(f(0)=0\), a z druhého, že \(f(1)=\pm1\). Ďalej dosadením \([x,0], [x,x]\): \[\begin{aligned} f(x)f(x^2)&=x^3, \\ f(2x)f(x^2)&=2x^3.\end{aligned}\] Z prvej rovnosti vidíme, že ak \(x\neq0\) tak \(f(x)\neq0\). To nám umožní dať beztrestne do rovnosti výrazy \(f(x^2)\) z oboch rovníc, za predpokladu \(x\neq0\): \[\begin{aligned} \frac{2x^3}{f(2x)}=f(x^2)&=\frac{x^3}{f(x)}, \\ 2f(x)=f&(2x)\end{aligned}\] a zároveň určiť, že funkcia musí byť nepárna (s využitím dosadenia \([-x,0]\), \(f(0)=0\) a za predpokladu \(x\neq0\)): \[\begin{aligned} f(-x)=\frac{-x^3}{f(x^2)}=-\frac{x^3}{f(x^2)}=-f(x).\end{aligned}\] Ďalší krok bude všimnúť si rovnosť \(x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)\). Zvolením \([x,1-x]\) dosiahneme \(x+y=1\), a teda dosiahneme rovnaké výrazy, s ktorými sa dá ďalej pracovať: \[\begin{aligned} f(1)f(x^2-x(1-x)+(1-x)^2) &= x^2-x(1-x)+(1-x)^2, \\ f(1)f(3x^2-3x+1) &= 3x^2-3x+1.\end{aligned}\] Definičný obor funkcie \(3x^2-3x+1\) je \(\langle 1/4, \infty)\). Predpokladajme teraz, že \(f(1)=1\). Pre \(t \geq 1/4\) môžeme spraviť substitúciu \(3x^2-3x+1=t\) a z toho máme \(f(t)=t\) pre \(t \geq 1/4\). To vieme rozšíriť na všetky kladné čísla využitím vzťahu \(2f(x)=f(2x)\). Najprv na interval \(\langle 1/8, 1/4)\), následne na \(\langle 1/16, 1/8)\), \(\ldots\) (v poriadnom dôkaze využijeme indukciu). S využitím nepárnosti a \(f(0)=0\) dostávame \(f(x)=x\). Podobne pre \(f(1)=-1\) dostávame \(f(x)=-x\).
Skúškou overíme, že funkcie \(f(x)=x\) a \(f(x)=-x\) sú naozaj riešeniami.
\([a,b]\) bude značiť dosadenie \(x=a, y=b\)↩
Diskusia
Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.
Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.