Zadanie
Kmeň Majestátnych Saván si veľmi ctí prírodu. Preto jeho členovia nehľadajú potravu v prírode, ale v matematike. V jeden deň dal náčelník svojmu ľudu nasledovné inštrukcie.
Nájdite všetky trojice \((x, y, z)\) celých čísel, ktoré vyhovujú sústave rovníc \[\begin{aligned} x - yz = 1,\\ xz + y = 2.\end{aligned}\]
Prvé riešenie
Budeme chcieť z tejto sústavy rovníc vyjadriť \(z\). Najprv vyriešime prípady, keď je jedna z neznámych \(x\), \(y\) rovná \(0\).
\[x=0\Rightarrow y=2,\qquad -yz=1.\] Táto možnosť zjavne nemá celočíselné riešenie.
\[y=0\Rightarrow x=1,\qquad xz=2 \Rightarrow z=2.\]
Našli sme jedno riešenie a to trojicu čísel \((x,y,z) = (1,0,2)\).
Predpokladajme, že \(x\), \(y\) sú nenulové, potom nimi môžeme deliť a vyjadríme \(z\) z oboch rovníc.
\[z=\frac{x-1}{y},\] \[z=\frac{2-y}{x}.\]
Dáme do rovnosti pravé strany.
\[\frac{x-1}{y}=\frac{2-y}{x},\] \[(x-1)x=(2-y)y.\]
Výraz \(x(x-1)\) je pre všetky celé čísla nezáporný, pretože ak ani jedno z čísel \(x\), \(x-1\) nie je nula, tak majú obe rovnaké znamienka (rozmyslieť). Pravá strana poslednej rovnice je nezáporná iba pre hodnoty \(y=0,\,1,\,2\). Pre všetky ostatné hodnoty majú čísla \(y\), \(y-2\) opačné. znamienko. Preto \(y\) môže nadobudnúť iba jednu z hodnôt \(0\), \(1\), \(2\). Spätným dosadením do sústavy rovníc nenulových hodnôt pre \(y\) ľahko dorátame hodnoty pre \(x\) a \(z\). Jediné celočíselné riešenie je trojica \[(x,y,z)=(1,2,0).\]
Dokopy teda máme dve trojice \((x,y,z) = (1,0,2)\) a \((x,y,z) = (1,2,0).\)
Druhé riešenie:
Z druhej rovnice vyjadríme \(y = 2-xz\), a dosadíme do prvej rovnice
\[x-z(2-xz)=1\Rightarrow xz^2-2z+(x-1)=0.\]
Aby táto kvadratická rovnica s parametrom \(x\) a premennou \(z\) mala riešenie, jej diskriminant musí byť nezáporný, t. j. \[D=4-4\cdot(x-1)x=-4x^2+4x+4 \; \geq0 \; \Rightarrow x^2-x-1 \leq 0\]
Danej nerovnici vyhovujú len \(2\) hodnoty \(x\) a to \(x=0\) a \(x=1\) (to sa dá zistiť tak, že ju upravíme na štvorec). Dosadením do pôvodnej sústavy rovníc dostaneme neceločíselné riešenie pre \(x=0\) a dve riešenia pre \(x=1\), rovnaké ako v prvom riešení.
Diskusia
Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.
Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.