2. Konzumácia Matematiky Sýti (κ ≤ 2) vzorové riešenie

Prvé riešenie

Budeme chcieť z tejto sústavy rovníc vyjadriť \(z\). Najprv vyriešime prípady, keď je jedna z neznámych \(x\), \(y\) rovná \(0\).

\[x=0\Rightarrow y=2,\qquad -yz=1.\] Táto možnosť zjavne nemá celočíselné riešenie.

\[y=0\Rightarrow x=1,\qquad xz=2 \Rightarrow z=2.\]

Našli sme jedno riešenie a to trojicu čísel \((x,y,z) = (1,0,2)\).

Predpokladajme, že \(x\), \(y\) sú nenulové, potom nimi môžeme deliť a vyjadríme \(z\) z oboch rovníc.

\[z=\frac{x-1}{y},\] \[z=\frac{2-y}{x}.\]

Dáme do rovnosti pravé strany.

\[\frac{x-1}{y}=\frac{2-y}{x},\] \[(x-1)x=(2-y)y.\]

Výraz \(x(x-1)\) je pre všetky celé čísla nezáporný, pretože ak ani jedno z čísel \(x\), \(x-1\) nie je nula, tak majú obe rovnaké znamienka (rozmyslieť). Pravá strana poslednej rovnice je nezáporná iba pre hodnoty \(y=0,\,1,\,2\). Pre všetky ostatné hodnoty majú čísla \(y\), \(y-2\) opačné. znamienko. Preto \(y\) môže nadobudnúť iba jednu z hodnôt \(0\), \(1\), \(2\). Spätným dosadením do sústavy rovníc nenulových hodnôt pre \(y\) ľahko dorátame hodnoty pre \(x\) a \(z\). Jediné celočíselné riešenie je trojica \[(x,y,z)=(1,2,0).\]

Dokopy teda máme dve trojice \((x,y,z) = (1,0,2)\) a \((x,y,z) = (1,2,0).\)

Druhé riešenie:

Z druhej rovnice vyjadríme \(y = 2-xz\), a dosadíme do prvej rovnice

\[x-z(2-xz)=1\Rightarrow xz^2-2z+(x-1)=0.\]

Aby táto kvadratická rovnica s parametrom \(x\) a premennou \(z\) mala riešenie, jej diskriminant musí byť nezáporný, t. j. \[D=4-4\cdot(x-1)x=-4x^2+4x+4 \; \geq0 \; \Rightarrow x^2-x-1 \leq 0\]

Danej nerovnici vyhovujú len \(2\) hodnoty \(x\) a to \(x=0\) a \(x=1\) (to sa dá zistiť tak, že ju upravíme na štvorec). Dosadením do pôvodnej sústavy rovníc dostaneme neceločíselné riešenie pre \(x=0\) a dve riešenia pre \(x=1\), rovnaké ako v prvom riešení.