4. Kilá Musia Sedieť (κ ≤ 5) vzorové riešenie

Na riešenie úloh ako je táto, je potrebné myslieť na to, že nestačí len nejaké riešenie nájsť, ale aj dokázať, že toto riešenie je najlepšie možné. V našom prípade to znamená nájsť najmenší počet závaží, ktoré vieme rozdeliť na \(5\) a zároveň aj \(9\) rovnako vážiacich kôpok. Taktiež treba dokázať, že menší počet závaží by sme takýmto spôsobom nevedeli rozdeliť.

Označme \(M\) hmotnosť všetkých závaží, \(x=\frac{M}{5}\) hmotnosť kôpky pri rozdelení na \(5\) kôpok, podobne \(y=\frac{M}{9}\). Medzi \(x\) a \(y\) je teda takýto vzťah: \(x=\frac{9y}{5}\).

Poďme nájsť najmenší možný počet závaží. Keďže celkovú hmotnosť delíme na deväť častí, závaží musí byť aspoň deväť. Je zrejmé, že deväť závaží s rovnakou hmotnosťou nevieme rozdeliť do piatich rovnako ťažkých kôpok. Pozrime sa, čo sa stane, ak by závaží bolo \(10\). Pri rozdelení na deväť častí by osem kôpok tvorilo práve jedno závažie s hmotnosťou \(y\). Dve závažia by tvorili deviatu kôpku. Ak by sme takúto sadu závaží chceli rozdeliť do piatich kôpok, určite by na niektorej z nich boli aspoň dve s hmotnosťou \(y\). To by ale znamenalo, že súčet hmotností závaží na tejto kôpke by bol aspoň \(2y\). My ale vieme, že \(x = \frac{9y}{5} < 2y\).

Z tohto dôvodu chceme mať nanajvýš \(5\) závaží s hmotnosťou \(y\). Koľko závaží na to potrebujeme? Po podobných úvahách ako v predchádzajúcom odseku prídeme na to, že potrebujeme aspoň \(13\) závaží. Lebo pri rozdelení na \(9\) kôpok máme najviac \(5\) závaží s hmotnosťou \(y\), teda na aspoň \(4\) kôpkach musia byť aspoň \(2\) závažia. Poďme zistiť, či nám bude toľkoto závaží stačiť.

Majme \(5\) závaží s hmotnosťou \(y\).¹ Okrem nich potrebujeme \(8\) iných závaží, ktoré majú spĺňať nasledujúce podmienky:

• závažia sa dajú rozdeliť na \(4\) kôpky s hmotnosťou \(y\)

• závažia sa dajú rozdeliť na \(5\) kôpok s rovnakou hmotnosťou

Tieto podmienky spĺňa napríklad takáto sada: \(y\), \(y\), \(y\), \(y\), \(y\), \(\dfrac{4y}{5}\), \(\dfrac{4y}{5}\), \(\dfrac{4y}{5}\), \(\dfrac{4y}{5}\), \(\dfrac{y}{5}\), \(\dfrac{y}{5}\), \(\dfrac{y}{5}\), \(\dfrac{y}{5}\).

Ukážme si ešte, ako sa dá rozdeliť na \(5\) respektíve \(9\) kôpok.

• rozdelenie na \(9\) kôpok: \(5\) kôpok po \(y\), \(4\) kôpky po \(\dfrac{4y}{5}+\dfrac{y}{5}\)

• rozdelenie na \(5\) kôpok: \(4\) kôpky po \(y+\dfrac{4y}{5}\), \(1\) kôpka \(y+\dfrac{y}{5}+\dfrac{y}{5}+\dfrac{y}{5}+\dfrac{y}{5}\)

Týmto sme dokázali, že Veronike bude stačiť objednať \(13\) závaží s vyššie uvedenými hmotnosťami.