8. Kvantá Miest Spálených vzorové riešenie

Pre každé \(d\) nás zaujíma, či sa dá niekoľko jeho prvých násobkov (aspoň \(3\)) zapísať do radu tak, aby súčet každých dvoch susedných bol štvorcom – druhou mocninou celého čísla.

Takmer vždy sa oplatí začať od najmenších či najjednoduchších prípadov. Pozrime sa teda najprv na prípad, kedy \(d=1\). Pre lepšiu predstavu o tom, aké máme možnosti, si môžeme na papier napísať niekoľko prvých prirodzených čísel a spojiť čiarou tie dvojice, ktorých súčet je druhou mocninou. Dostaneme tak akýsi graf a chceme vedieť, či v ňom existuje cesta po čiarach cez všetky čísla (vrcholy). S tromi číslami to zjavne nejde, preto skúšame dokresľovať postupne ďalšie a ďalšie čísla. Teda zakaždým pridáme číslo, spojíme ho so všetkými existujúcimi číslami, s ktorými dáva súčet rovný nejakej druhej mocnine a pozrieme sa, či už existuje cesta cez všetky čísla. Je to celkom efektívny spôsob ako skúšať postupne malé hodnoty \(k\) bez nutnosti skúšania úplne všetkých možností.

Keď takto pokračujeme ďalej, zistíme, že pridaním čísla \(k=15\) sa nám cesta naozaj vytvorí. Dostaneme takúto postupnosť: \(9,\ 7,\ 2,\ 14,\ 11,\ 5,\ 4,\ 12,\ 13,\ 3,\ 6,\ 10,\ 15,\ 1,\ 8\), kde naozaj súčet každých dvoch susedov je štvorcom. To znamená, že číslo \(1\) je jedným z hľadaných \(d\).

Ďalej si všimnime, že ak všetky členy prenásobíme nejakým číslom \(d\), potom aj súčet každej dvojice sa vynásobí \(d\)-krát. Preto ak \(d\) je druhá mocnina, postupnosť

\[9d,\ 7d,\ 2d,\ 14d,\ 11d,\ 5d,\ 4d,\ 12d,\ 13d,\ 3d,\ 6d,\ 10d,\ 15d,\ 1d,\ 8d\]

je vyhovujúca. Keď totiž v pôvodnej postupnosti bol súčet dvoch susedov štvorcom, po jeho prenásobení ďalším štvorcom (číslom \(d\)) dostaneme vždy znovu štvorec.

Preskúmajme teraz prípady, kedy \(d\) nie je druhou mocninou. Keď si opäť skúsime podobné grafické znázornenie ako predtým, zistíme, že ani po pridaní dostatočne veľa čísel sa náš graf neprepojí celý, ostanú aspoň dve oddelené časti, v ktorých síce cesta existovať môže, ale z jednej sa do druhej dostať nedá. Poďme to dokázať.

Vezmime si nejaké číslo \(d\), ktoré nie je štvorcom. Aby sme nemuseli uvažovať úplne všetky možné hodnoty \(d\), ukážeme, že stačí uvažovať tie \(d\), ktoré nie sú deliteľné žiadnou druhou mocninou (každé prvočíslo v jeho rozklade je v prvej mocnine). Ak by sme totiž mali vhodné usporiadanie násobkov pre \(d=a^2p\), kde \(p\) už v rozklade nemá žiadne prvočíslo v druhej ani vyššej mocnine, potom môžeme vydeliť všetky členy postupnosti \(a^2\) a dostaneme vyhovujúcu postupnosť pre \(d'=p\). Ak boli všetky súčty susedov štvorcami predtým, po vydelení štvorcom ostanú štvorcami (ostanú celočíselné, keďže všetky členy postupnosti sú násobkom \(d\), a teda aj násobkom \(a^2\)). Z toho obmenou plynie, že ak postupnosť neexistuje pre takéto \(p\), nemôže existovať ani pre \(d=a^2p\).

Predpokladajme pre spor, že pre nejaké \(k\) vieme čísla \(1d,\ 2d,\ \dots\, kd\) usporiadať do radu podľa podmienok v zadaní.

Súčet každých dvoch susedných čísel bude deliteľný \(d\), pretože všetky čísla sú deliteľné \(d\). Každý štvorec, ktorý je deliteľný \(d\), je z vlastností \(d\) deliteľný aj \(d^2\). Najmenší taký štvorec je \(d^2\), druhý najmenší je \(4d^2\). Keď si vezmeme ľubovoľné číslo \(b\), ktoré nie je na začiatku ani konci predpokladaného radu a označíme jeho susedov \(a\) a \(c\), potom \(a+b\) aj \(b+c\) sú štvorce, a to rôzne (pretože \(a\) a \(c\) sú rôzne). Preto niektorý súčet musí byť aspoň druhý najmenší možný (\(4d^2\)) a niektoré z čísel v rade musí byť aspoň jeho polovica, teda \(2d^2\). Použité budú aj všetky menšie násobky \(d\), teda použité budú určite \(d^2\) aj \(d\).

Teraz ukážeme, že v rade nemôžu stáť vedľa seba také dve čísla, že jedno z nich je deliteľné \(d^2\) a druhé nie je deliteľné \(d^2\) (teda je deliteľné iba \(d\)-čkom), teda žiadne dve čísla tvaru \(xd^2\) a \(yd\), kde \(d \nmid y\) nemôžu v rade stáť vedľa seba. Z toho už vyplýva, že v rade máme buď len násobky alebo len nenásobky \(d^2\), čo je v prípade \(d \not = 1\) spor. Súčet \(xd^2 + yd\) má byť štvorec deliteľný \(d^2\) (všetky štvorce, ktoré vieme získať, sú deliteľné \(d\) aj \(d^2\)). Teda

\[\begin{aligned} d^2 &\mid xd^2 + yd,\\ d^2 &\mid yd,\\ d &\mid y,\end{aligned}\]

čo je spor s výberom \(y\). Hľadané čísla \(d\) sú teda práve všetky druhé mocniny prirodzených čísel.