Zadanie
Po tom, čo Magalhães úspešne unikol smrti v búrke, zastavil sa so svojou flotilou na jednom tichomorskom ostrove. Námorníkov tam obzvlášť zaujali cibetky, ktoré sa živili rôznymi druhmi kávovníkov. Chlapi neskôr odpozorovali, že ostrovní domorodci jedia kávové zrná z jej trusu a rozhodli sa to sami vyskúšať. Na ich veľké prekvapenie mali tieto zrná rôznorodé chute podľa toho, z akého kávovníka práve cibetka jedla.
Cibetku si môžeme predstaviť ako takú funkciu \(f\!: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}\), že pre všetky prirodzené čísla \(n>1\) existuje prvočíslo \(p\) také, že platí \(p\) delí \(n\) a \[f(n)=f\left(\frac{n}{p}\right)-f(p).\] Navyše platí \[f(13^{2019})+f(17^{2020})+f(19^{2021})=2018.\] Vypočítajte hodnotu \[f(2019^{13})+f(2020^{17})+f(2021^{19}).\]
Pri funkcionálnych rovniciach je dobré vyskúšať dosadiť si nejaké malé čísla alebo špeciálne prípady. Vie to veľa povedať o správaní sa hľadanej funkcie a jej vlastnostiach.
Špeciálnym prípadom by tu bolo napríklad, že \(n\) je prvočíslo (podľa zadania nemôžeme dosadiť \(n=1\)). Ak \(n\) je prvočíslo, delí ho iba jedno prvočíslo \(p\), a platí \(p=n\). Po dosadení do rovnice máme \[\begin{aligned} f(n)&=f(1) - f(n), \\ f(n)&=\frac{f(1)}{2}=c,\end{aligned}\] kde \(c\) je nejaká konštanta, neskôr upresníme aká.
Predpokladajme \[n=p_{1}p_{2} \dots p_{k}\hspace{2pt},\] pričom \(p_{1},p_{2},\dots,p_{k}\) sú (nie nutne rôzne) prvočísla. Nech \(p\) je ľubovoľné prvočíslo spĺňajúce \[f(n) = f\left(\frac{n}{p}\right) - f(p).\] Bez ujmy na všeobecnosti, nech \(p = p_{k}.\)
Už vieme, že ak \(k=1\), \(f(n)=f(1) / 2\).
Nech \(k=2, n=p_{1}p_{2}\), potom \(f(n)=f(p_{1}) - f(p_{2})=c-c=0\).
Nech \(k=3, n=p_{1}p_{2}p_{3}\), potom \(f(n)=f(p_{1}p_{2}) - f(p_{3})=0 - c=-c\).
Nech \(k=4, n=p_{1}p_{2}p_{3}p_{4}\), potom \(f(n)=f(p_{1}p_{2}p_{3}) - f(p_{4})=-c - c=-2c\).
Vyzerá to tak, že funkcia \(f\) spĺňa \(f(n)=-(k-2)c\). Toto dokážeme indukciou podľa \(k\).
Vieme, že pre \(k=1\) to platí, nech to platí pre nejaké \(k\). Potom nech \(n= p_{1} \dots p_{k}p_{k+1}\), s využitím indukčného predpokladu \[f(n)=f(p_{1} \dots p_{k}p_{k+1})=f(p_{1} \dots p_{k}) - f(p_{k+1})=-(k-2)c-c=-(k-3)c,\] teda tvrdenie platí.
Vieme \[2018=f(13^{2019}) + f(17^{2020}) + f(19^{2021})=-2017c - 2018c - -2019c=-3 \cdot 2018c,\] a teda \[c=-\frac{1}{3}.\]
Ďalej \(2019=3 \cdot 673,\ 2020=2^{2} \cdot 5 \cdot 101,\ 2021=43 \cdot 47\). \[f(2019^{13}) + f(2020^{17}) + f(2021^{19})=-24c - 66c - 36c=-126c=42.\]
Úloha nebola ťažká, väčšina z vás ju vyriešila správne.
Diskusia
Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.
Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.