7. Kupuj Muníciu Symetricky vzorové riešenie



Nech teda spomínané celé čísla sú \(x,y>0\), tj\[\begin{aligned} 12n-119 &= x^2, \\ 75n-539 &= y^2.\end{aligned}\]Upravme si obe rovnice, aby pri \(n\) bolo v oboch rovniciach rovnaké číslo. Teda najjednoduchšie je, aby sme obe rovnice vynásobili na číslo \(\operatorname{nsn}(12,75)=300\). Dostávame \[\begin{aligned} 300n &= 25x^2 + 25\cdot 119,\\ 300n&= 4y^2 + 4\cdot 539.\end{aligned}\] Keď odpočítame rovnice navzájom, dostaneme \[0=25x^2-4y^2+25\cdot 119-4\cdot 539.\] Upravíme na súčin štvorcov známou formulkou \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\) a po vyčíslení súčinov dostaneme \[\begin{aligned} 0 &= (5x+2y)(5x-2y)+819.\\ \end{aligned}\] Teda finálne dostávame \[(2y-5x)(5x+2y)=819=3\cdot 3\cdot 7\cdot 13.\] Druhá zátvorka je kladná, teda obidve musia byť kladné. Zjavne prvá zátvorka je menšia ako druhá a musí nadobúdať hodnoty nejakého deliteľa čísla \(819\). Dostávame tak 6 možností, každú vyriešme zvlášť. Možnosti sú rozpísané v nasledujúcej tabuľke.

Na výpočet stĺpcov tabuľky sme použili vzťahy \[2y+5=\frac{819}{2y-5x},\qquad \qquad 4y=(2y-5x)+(2y+5x),\qquad \qquad x=\frac{\frac{4y}{2} - (2y-5x)}{5}.\]

Ďalšie možnosti už neexistujú, pretože ďalšie delitele čísla \(819\), ktoré môže nadobúdať zátvorka \((2y-5x)\) by boli väčšie ako zátvorka \((2y+5x)\), čo nie je možné. Dostávame tak jediné tri vyhovujúce hodnoty čo môže byť \(x\) (\(x\) musí byť celé!), a to \(27,11,5\). Ak si tieto tri hodnoty dosadíme do pôvodnej rovnice zo zadania, kde teda \(n=\frac{x^2+119}{12}\), dostaneme tak \(n=\frac{848}{12}, \frac{240}{12}, \frac{144}{12}\). Z týchto vychádzajú celé iba posledné dve čísla \(n=\frac{240}{12}=20\), a \(n=\frac{144}{12}=12\). Overíme si to aj na druhej rovnici, že to vychádza: \(75\cdot 20 - 539 = 961=31^2\), a možnosť pre \(n=12\) vychádza tiež \(75\cdot 12 - 539 = 144=12^2\).

Výsledok: Rovniciam vyhovujú práve dve \(n\), a to \(n=20, n=12\).