6. Konsky Mätúca Stránka vzorové riešenie

Tretia operácia v zadaní je nezvyčajná, tak ju nazvime „kružnica nad úsečkou“, aby sme ju nemuseli vždy celú opisovať. Ak by sme mali obyčajnú konštrukciu kružnice pomocou stredu \(A\) a polomeru \(|AB|\), tak by sme úlohu vedeli riešiť bežnou konštrukciou stredu opísanej kružnice. Jeden príklad takej konštrukcie si ukážeme na konci. Chceli by sme teda získať možnosť narysovať kružnicu pomocou stredu \(A\) a iného bodu \(B\). Na získanie takejto možnosti použijeme niekoľko pomocných krokov:

1. Zostrojenie stredu úsečky: Vezmime si úsečku \(KL\). Keď do štvorca vpíšeme kružnicu, tak táto kružnica sa ho dotýka v stredoch strán. Použitím „kružnice nad úsečkou“ teda vieme zostrojiť kružnicu, ktorá sa dotýka úsečky \(KL\) v jej strede. Vyznačením dotykového bodu kružnice a úsečky \(KL\) zostrojíme stred úsečky \(KL\).

2. Narysovanie osi úsečky: Os úsečky sa nám hodí, pretože nám umožňuje istým spôsobom otočiť úsečku o \(90^\circ\), a teda vyrábať pravé uhly, ktoré sa hodia napríklad pri konštrukcií štvorca či kolmíc.

   Keď už máme stred úsečky, skúsme zostrojiť aj jej os. Narysujme v rovnakej polrovine nad oboma polovicami úsečky kružnice (zatiaľ aj tak veľmi nevieme skonštruovať niečo iné). Tie sa budú dotýkať, keďže štvorce, do ktorých sú vpísané, majú spoločnú stranu. Dostali sme tak nový bod a môžeme ním viesť priamku. Keď ju vedieme aj cez stred úsečky \(KL\), bude na úsečku \(KL\) kolmá (rozmyslite si prečo). Nová priamka je tak hľadaná os úsečky.

3. Narysovanie štvorca so stranou \(KL\): Štvorcom už vieme vpísať kružnicu pomocou operácie „kružnica nad úsečkou“, stačí vyznačiť krajné body jednej z jeho strán. Avšak samotný štvorec sa nám nenarysuje. Keby sme ich ale vedeli konštruovať, mohli by sme ich všelijako preklápať a vyrobiť z nich mriežku. Stačí vždy narysovať nový štvorec nad stranou nejakého už existujúceho štvorca. Navyše, štvorce majú mnoho ďalších vlastností, ktoré by sa nám mohli hodiť.

   Teraz ku konštrukcií. Najskôr narysujeme „kružnicu nad úsečkou“ \(KL\) a os úsečky \(KL\). Stred úsečky \(KL\) označme \(M_{KL}\). Druhý bod, v ktorom pretne os úsečky \(KL\) „kružnicu nad úsečkou“ \(KL\) označíme \(N\). Teraz narysujeme os úsečky \(M_{KL}N\). Táto os pretne „kružnicu nad úsečkou“ \(KL\) v bodoch \(K'\), \(L'\). Dá sa všimnúť (a skúste si to dokázať), že \(K'\), \(L'\) sú stredmi strán štvorca so stranou \(KL\), teda zopakovaním celého tohto postupu pre úsečku \(K'L'\) vieme dostať druhé dva vrcholy štvorca so stranou \(KL\).

4. Narysovanie kružnice so stredom v bode \(K\) a polomerom \(|KL|\): Už vieme narysovať štvorec nad úsečkou \(KL\) v jednej z polrovín určenej priamkou \(KL\). Narysujme teda oba možné štvorce nad úsečkou \(KL\). Teraz máme narysovaný jeden obdĺžnik zložený z dvoch štvorcov, ktorého stredy dlhších strán sú body \(K\) a \(L\).

   Môžme dorysovať „kružnicu nad úsečkou“ pre stranu obdĺžnika, na ktorej leží bod \(L\). Takto dostaneme kružnicu so stredom v bode \(K\), ktorá zároveň prechádza bodom \(L\). Ak by sme preklopili tento obdĺžnik ešte doľava, tak ako je to na obrázku, tak uvidíme, že kružnica ktorú sme skonštruovali je vpísaná jednému veľkému štvorcu.

Všetky tieto kroky môžme zachytiť nasledovnými obrázkami:

Samozrejme spôsobov, ako docieliť konštrukciu kružnice podľa stredu a polomeru je veľa, my sme si len vybrali jednu konkrétnu konštrukciu. Už len stačí použiť jeden z bežných postupov konštrukcie stredu vpísanej kružnice:

1. Zostrojíme os uhla \(BAC\) klasickým postupom pomocou troch kružníc, tak ako na obrázku.

2. Analogicky zostrojíme os uhla \(ABC\). Priesečník osí uhlov označíme \(I\) a ide o stred vpísanej kružnice.

3. Nech \(M_{BI}\) je stredom úsečky \(BI\). Kružnica so stredom \(M_{BI}\) a polomerom \(|BM_{BI}|\) je Tálesovou kružnicou nad úsečkou \(BI\). To znamená, že ak druhý priesečník tejto kružnice a strany \(BC\) označíme \(D\), tak uhol \(BDI\) je pravý, teda \(D\) je zároveň bod dotyku kružnice vpísanej trojuholníku \(ABC\) a strany \(BC\).

4. Už len stačí dorysovať kružnicu so stredom \(I\) a polomerom \(|ID|\). Táto kružnica je vpísanou kružnicou trojuholníka \(ABC\). Celý náčrt si môžme pozrieť na nasledovnom obrázku.