Zadanie
Nad mestom sa vznášal prach. A predsa bolo vidieť šerifskú hviezdu nad vchodom do úradu Sgt. Peppera. Ak niekto americké Marlborough držal na krátko a prinášal do všedných dní vraždenia, krvi a krčmových duelov poriadok, tak to bol on. Muž činu a legenda, Sheriff Sgt. Pepper. Ale zase nepreháňajme. Nie každý deň bolo treba volať hrobára. Napríklad včera jediným problémom, ktorý Sgt. Pepper riešil, bol nejaký rodinný spor o deľbe majetku:
\(13\)-členná rodina mala v banke po zosnulom strýcovi majetok v neznámej hodnote. Pamätali si však, že tá hodnota bola tvaru 44...43, pričom \(3\)-ke predchádzalo \(n\ge 1\) štvoriek. Akú hodnotu mohol mať majetok, aby si ho vedeli rozdeliť bezo zvyšku? Nájdite všetky prirodzené čísla \(n\) také, že vyššie uvedené číslo je deliteľné \(13\) bezo zvyšku.
Zoberme si ľubovoľnú hodnotu daného tvaru a nazvime ju \(x\). Nasledujúcu hodnotu, ktorá bude mať počet štvoriek o \(1\) väčší, získame z pôvodnej ako \(x \cdot 10 + 13\).
Našu hodnotu si môžeme vždy rozpísať ako \(13a + b\), kde \(a\) a \(b\) sú nezáporné celé čísla a \(b < 13\). Nasledujúca hodnota bude potom \((13a + b) \cdot 10 + 13 = 13 \cdot (10a + 1) + 10b\).
Číslo \(13 \cdot (10a + 1)\) je určite deliteľné číslom \(13\), teda deliteľnosť nasledujúcej hodnoty číslom \(13\) ovplyvní iba zvyšok čísla \(10b\) po delení číslom \(13\). Môžeme si však všimnúť, že číslo \(10b\) je deliteľné číslom \(13\) práve vtedy, keď ním je deliteľné \(b\). Keďže \(b\) je zvyšok pôvodnej hodnoty po delení číslom \(13\), tak aj nasledujúca hodnota bude deliteľná číslom \(13\) práve vtedy, keď je ním deliteľná pôvodná hodnota.
Keďže ale hneď prvá možná hodnota, čo je \(43\), nie je deliteľná číslom \(13\), tak ním nebude deliteľná ani žiadna ďalšia hodnota. Preto neexistuje žiadne také \(n\), pre ktoré by hodnota daného tvaru bola deliteľná číslom \(13\) bezo zvyšku.
Diskusia
Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.
Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.