Zadanie
„Ser Pepper!“ kričal zadychčaný muž texaským dialektom, „Komančovia sa vrátili! V noci do našich úrodných polí vypálili znak. Musíte nám pomôcť.“ Sgt. Pepper neváhal. Povedal jeho povestné „Idem, riešim,“ nasadol na koňa a vybral sa za kovbojom. Až dorazili na miesto činu, odkryl sa im takýto obraz:
Vo vnútri pravidelného \(80\)-uholníka je vyznačených \(50\) bodov tak, že žiadna trojica zo všetkých \(130\) bodov (vrcholov a vyznačených bodov) neleží na jednej priamke. \(80\)-uholník rozdelíme na trojuholníky (ktoré sa nepretínajú), pričom vrcholy týchto trojuholníkov tvoria práve vrcholy \(80\)-uholníka a vyznačené body v jeho vnútri. Na koľko najmenej a koľko najviac trojuholníkov vieme takto rozdeliť náš \(80\)-uholník?
Rozdeľme \(80\)-uholík na trojuholníky a označme \(n\) ich počet. Pozrime sa na súčet vnútorných uhlov týchto trojuholníkov. Vieme, že každý trojuholník má súčet vnútorných uhlov rovný \(180^\circ\), takže súčet všetkých uhlov v stupňoch musí byť \(180\cdot n\). Na druhej strane, súčet vnútorných uhlov ľubovoľného \(k\)-uholníka v stupňoch je \((k-2)\cdot 180\), takže v \(80\)-uholníku to je \(78\cdot 180\). Navyše je ešte vnútri \(80\)-uholníka ďalších \(50\) bodov, a keďže žiadne tri z tých \(130\) bodov neležia na priamke, tak každý z tých \(50\) bodov je vrcholom niekoľkých trojuholníkov, a to tak, že súčet všetkých uhlov v trojuholníkoch pri tomto vrchole je \(360^\circ\). Súčet všetkých vnútorných uhlov vo všetkých \(n\) trojuholníkoch tak musí byť zároveň \(78\cdot 180^\circ+50\cdot 360^\circ=178 \cdot 180^\circ\), z čoho dostávame rovnosť \(180 \cdot n=178 \cdot 180\), a teda \(n=178\). Odpoveďou na obe otázky zo zadania tak je \(178\).
Diskusia
Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.
Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.