Zadanie

„Urghhhhh,“ zakloktala mi v hrdle voda, ako som sa s Krutitruľom v jednej ruke a Konkretizátorom v druhej škriabal na opačný breh od Jubilára. „Toto nesmieme stratiť,“ zamával som prístrojom pred papuľou priateľa. „Táto vecička ako jediná dokáže zničiť Srdce Abstrakcie.“ „Tak sa mi vidí, že sme tak či onak došli,“ skonštatoval Krutitruľo. „Hlúposť, len prejdeme cez tamtie brány a sme v Citadele. Srdce Abstrakcie je v strede mesta. Uvidíš, zvládneme to.“ Lenže pred bránami nás čakal zástup vojakov a my sme sa museli napochytre zamaskovať. Hanbím sa za to, čo som urobil – obrátil som batériu v Konkretizátore a zabstrahoval som seba a Krutitruľa na dve reálne čísla. Potom už stačilo dokázať strážcom, že spolu nebudeme zaberať v Citadele priveľa miesta.

Pre reálne čísla \(a\), \(b\) platí \[a^{2020} + b^{2020} = a^{2022} + b^{2022}.\] Dokážte, že platí \(a + b \le 2\).

Všimnime si, že stačí počítať s prípadom kedy \(a\geq 1\geq b\geq 0\). Dôvod je nasledovný: po prvé nám stačí počítať s nezápornými možnosťami keďže v zadaní máme iba párne mocniny. Po druhé je zjavné, že nemôžu byť obe \(a,b>1\) súčasne, pretože inak by pravá strana bola ostro väčšia ako ľavá. Povedzme teda BUNV, že \(b\leq 1\). Ďalej rátajme iba s možnosťou že \(a\geq 1\), pretože v opačnom prípade nie je čo dokazovať.

Máme teda \(a\geq 1\geq b\geq 0\). Celé riešenie spočíva v jednoduchej úprave \[a^{2020} + b^{2020} = a^{2022} + b^{2022} \iff a^{2020}(a^2-1)= b^{2020}(1-b^2).\]

Keďže \(a\geq 1\geq b\), tak aj \(a^{2020}\geq 1\geq b^{2020}\), a teda platí \((a^2-1)\leq (1-b^2)\). Toto už vyzerá na jednu známu nerovnosť, nie? No, upravme si to ešte trochu na \[1 \geq \frac{a^2+b^2}{2}.\] Tu vieme, že kvadratický priemer je väčší ako aritmetický, t.j. \[\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\geq \frac{a+b}{2},\] z čoho dostávame \[1\geq \left( \frac{a+b}{2} \right)^2.\] Teda sme dokázali aj \(1\geq \dfrac{a+b}{2}\), čo bolo treba dokázať.

Diskusia

Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.

Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.