Zadanie

Mišovia ša chyštajú platiť, no potrebujú ša dohodnúť, či budú platiť všetci špolu alebo každý šám. Kým diškutujú na túto tému, šervírka má čaš zištiť, koľko zaplatia.

Nech \(\textrm{V} = 9999\). Dokážte, že1 \[\sum^{\textrm{V}}_{n=1}{\frac{1}{\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)\left(\sqrt[4]{n}+\sqrt[4]{n+1}\right)}}=9.\]

  1. Šymbol \(\sum\) označuje šumu, ak šte ša š ním ešte neštretli, nezúfajte a prečítajte ši viac na Wikipédii.↩︎

Vzorové riešenie tejto úlohy si môžeš pozrieť aj ako video na našom YouTube kanáli https://www.youtube.com/KorMatSem.

Keď máme v úlohe zadaný nejaký výraz, tak sa oplatí skúsiť ho nejako zjednodušiť. Jednou z typických úprav výrazov je odstránenie odmocnín z menovateľa. Keď máme v menovateli výraz \(\sqrt{a} + \sqrt{b}\), tak rozšírením zlomku hodnotou \(\sqrt{a} - \sqrt{b}\) dostaneme \((\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b}) = a - b\). Využili sme pritom vzorec \(A^2 - B^2 = (A + B) \cdot (A - B)\).

Výraz zo sumy preto môžeme rozšíriť (zjavne nenulovou) hodnotou \(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\): \[\frac{1}{\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)\left(\sqrt[4]{n}+\sqrt[4]{n+1}\right)} \cdot \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}} = \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{(n+1-n)\left(\sqrt[4]{n}+\sqrt[4]{n+1}\right)} = \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\left(\sqrt[4]{n}+\sqrt[4]{n+1}\right)}.\]

Dostaneme výraz, v ktorého čitateli znova môžeme použiť vzorec \(A^2-B^2 = (A+B)(A-B)\):

\[\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\left(\sqrt[4]{n}+\sqrt[4]{n+1}\right)} = \frac{\left(\sqrt[4]{n+1}\right)^2-\left(\sqrt[4]{n}\right)^2}{\left(\sqrt[4]{n}+\sqrt[4]{n+1}\right)} = \frac{\left(\sqrt[4]{n+1}+\sqrt[4]{n}\right)\left(\sqrt[4]{n+1}-\sqrt[4]{n}\right)}{\left(\sqrt[4]{n}+\sqrt[4]{n+1}\right)}= \sqrt[4]{n+1}-\sqrt[4]{n}.\]

Dostali sme zjednodušený výraz, ktorý už lepšie upraviť nevieme. Dosaďme tento výraz naspäť do rovnosti zo zadania:

\[\sum^{\textrm{V}}_{n=1}\left(\sqrt[4]{n+1}-\sqrt[4]{n}\right)=9.\]

Vieme, že ak v sume \(\sum^{\textrm{9999}}_{n=1}\sqrt[4]{n}\) bude \(n\) nadobúdať hodnoty \(1\) až \(9999\), tak v sume \(\sum^{\textrm{9999}}_{n=1}\sqrt[4]{n+1}\) bude \(n + 1\) nadobúdať hodnoty \(2\) až \(10000\). Po dosadení čísel by rovnosť vyzerala takto:

\[\sqrt[4]{2}-\sqrt[4]{1}+\sqrt[4]{3}-\sqrt[4]{2}+\sqrt[4]{4}-\sqrt[4]{3}+...+\sqrt[4]{9999}-\sqrt[4]{9998}+\sqrt[4]{10000}-\sqrt[4]{9999}=9.\]

Môžeme si všimnúť, že väčšina odmocnín sa najskôr pričíta a v ďalšom kroku sa odčíta.1 Keď sa takto všetky navzájom odčítajú, zostane nám:

\[-\sqrt[4]{1}+\sqrt[4]{10000}=9.\]

Odmocnením dostávame \(-1 + 10 = 9\), a teda \(9 = 9\). Dokázali sme, že platí rovnosť zo zadania.

  1. Suma takéhoto typu sa nazýva aj teleskopická.↩︎

Diskusia

Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.

Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.