3. Kúpim Mak Siaty $\left(\kappa \le 3\right)$ vzorové riešenie

Najprv si môžeme všimnúť, že \(\operatorname{NSD}(a,b)^2\) delí oba výrazy, kde \(\operatorname{NSD}(a,b)\), značí najväčšieho spoločného deliteľa čísel \(a\) a \(b\). Nech \(a = \operatorname{NSD}(a,b)\cdot x\) a \(b = \operatorname{NSD}(a,b)\cdot y\). Dosadením do oboch výrazov dostaneme \[\begin{align} 3ab&=3\cdot (\operatorname{NSD}(a,b)\cdot x)\cdot (\operatorname{NSD}(a,b)\cdot y) = 3 \cdot x \cdot y \cdot \operatorname{NSD}(a,b)^2,\\ a^2+b^2&=(\operatorname{NSD}(a,b)\cdot x)^2+(\operatorname{NSD}(a,b)\cdot y)^2 = (x^2+ y^2)\cdot \operatorname{NSD}(a,b)^2.\end{align}\]

Ostáva nám už iba overiť, či a za akých okolností bude \(3\cdot x \cdot y\) a \((x^2 + y^2)\) súdeliteľné, pričom už vieme, že \(x\) a \(y\) nie sú súdeliteľné. Nech \(p\) je ľubovoľný prvočíselný deliteľ \(x\). Potom \(p\) delí \(3\cdot x \cdot y\), zároveň \(p\) delí \(x^2\), no nedelí \(y\), lebo \(\operatorname{NSD}(x,y)=1\). Potom \(p\) nedelí ani \(y^2\) a tým pádom ani \(x^2 + y^2\). Analogicky, žiadne prvočíslo deliace \(y\) nedelí \(x^2 + y^2\).

Nakoniec nás čaká \(3\). Tú doriešime napríklad cez zvyškové triedy a deliteľnosť. Ak by \(3\) delila \(x\), tak určite nedelí \(y\). Potom však nemôže deliť ani \(x^2 + y^2\). Ostáva nám preveriť prípad keď \(x\) dáva zvyšok \(1\), poprípade \(2\) po delení \(3\). Poďme sa pozrieť na zvyšky \(x^2\). \[(3 \cdot z +1)^2= (9 \cdot z^2 + 6 \cdot z)+1\] a podobne \[(3 \cdot z +2)^2= (9 \cdot z^2 + 6 \cdot z+3)+1.\] Vidíme, že nech si zvolíme \(x,y\) ľubovoľne, tak nám ich štvorec dá zvyšok \(1\). \(x^2 + y^2\) potom bude dávať zvyšok \((1+1)=2\) po delení \(3\). Trojkou teda deliteľný tiež nebude.

Práve sme overili, že pokiaľ \(x\) a \(y\) sú nesúdeliteľné, tak aj \(3 \cdot a \cdot b\) a \(a^2 + b^2\) budú tiež nesúdeliteľné. Výsledok teda naozaj je \(\operatorname{NSD}\left(3 \cdot a \cdot b, a^2 + b^2\right) = \operatorname{NSD}(a,b)^2\).