6. Kúpim Mlynček, Súrne! vzorové riešenie

Úloha sama o sebe vyzerá pomerne zákerne. Máme nejakú funkciu \(f\), do ktorej vieme dosádzať prirodzené čísla, a chceme určiť, čo dostaneme po dosadení \(2022\). K dispozícii máme len jeden vzťah, ktorý navyše platí len pre špeciálne hodnoty. Na zistenie \(f(2022)\) nám tak nezostáva nič iné, ako nájsť vhodné prirodzené číslo \(x\), aby sme mohli využiť, že \(f(2022) + f(x) = n^2\).

Tu prichádza otázka, čo ďalej? Previedli sme fakt, že nepoznáme hodnotu \(f(2022)\) na fakt, že nepoznáme \(f(x)\). Vieme nájsť nejaké ďalšie prirodzené číslo, zopakovať postup pre \(x\) a dostaneme novú neznámu hodnotu. Aby sme sa dostali k nejakým výsledkom, chceme ideálne nájsť číslo (alebo čísla), pre ktoré vieme určiť hodnotu funkcie. Po chvíli uvažovania si všimneme, že ak \(a = b = 2^{n-1}\), vzťah pre funkčné hodnoty bude \[2 \cdot f\left(2^{n-1}\right) = n^2.\] Odtiaľ už vieme určiť, že \(f\left(2^{n-1}\right) = \frac{1}{2}n^2\). Skúsme sa teda dopracovať od \(2022\) k nejakej mocnine dvoch.

Budeme postupovať nasledovne: pre nejaké \(x\), ktoré nie je mocninou \(2\) nájdeme nejaké \(y < x\) tak, aby \(x + y\) bola mocnina \(2\). A zopakujeme s číslom \(y\). Toto vieme spraviť vždy. Keďže nám to však stačí pre pár čísel, dokazovať to nebudeme, proste to vyskúšame. Tento postup nás dostane k postupne menším a menším kladným celým číslam, takže ak sa nepritrafí po ceste nejaká mocnina \(2\), dostaneme sa až k číslu \(1\). To môžeme tiež považovať za mocninu \(2\) (\(1 = 2^0\)), navyše \(1 + 1 = 2^1\), takže sa k hodnote \(f(1)\) dopočítame.

Prejdime však k činom. Postup vyššie nám dáva:

• \(2022 + 26 = 2^{11}\),

• \(26 + 6 = 2^5\),

• \(6 + 2 = 2^3\),

• \(2 = 2^1\).

Vieme teda dopočítať, že \(f(2) = \frac{1}{2} 2^2 = 2\). Potom pekne od konca dostaneme

• \(f(6) = 3^2 - f(2) = 9 - 2 = 7\),

• \(f(26) = 5^2 - f(6) = 25 - 7 = 18\),

• \(f(2022) = 11^2 - f(26) = 121 - 18 = 103.\)

Odpoveď: \(f(2022) = 103\).