8. Kúpim Metrové Súvetie vzorové riešenie

V zadaní máme kružnicu vpísanú a pripísanú trojuholníku \(ABC\), ako aj osi uhlov tohto trojuholníka, na ktorých stredy spomínaných kružníc ležia. Vyzerá to tak, že budú pomerne dôležité v riešení, poďme si ich teda označiť – stred kružnice vpísanej trojuholníku \(ABC\) označme ako \(I\) a stred kružnice pripísanej k strane \(BC\) trojuholníka \(ABC\) označme ako \(E_a\).

Všimnime si, že naše body nám tvoria dve skupinky, a to

1. body týkajúce sa kružnice vpísanej – \(A, B, C, I, D, E, X, Y\),

2. body týkajúce sa kružnice pripísanej – \(A, B, C, E_a, F, G, Z, W\),

pričom tieto dve skupinky nemajú medzi sebou až tak veľa prepojení. Skúsme teda skúmať tieto skupinky oddelene – obrázky budú prehľadnejšie a ľahšie budeme vidieť, čo sa nám v nich deje.

Body súvisiace s vpísanou kružnicou

Keďže kružnica vpísaná \(ABC\) sa dotýka strany \(AB\) v bode \(D\), musí byť \(DI\) kolmé na \(AB\). To ale znamená, že si bod \(D\) vieme predefinovať tak, že ide o pätu kolmice z bodu \(I\) na stranu \(AB\). Analogicky vieme \(E\) predefinovať ako pätu kolmice z \(I\) na \(AC\). To ale pre nás znamená, že vpísanú kružnicu môžeme úplne zahodiť, čím si opäť sprehľadníme obrázok.

Keďže \(|\sphericalangle ADI|=|\sphericalangle AEI|=90^\circ\), je štvoruholník \(ADIE\) tetivový. Potom ale z obvodových uhlov nad tetivami \(DI\) a \(EI\) a faktu, že \(I\) leží na osi uhla \(\sphericalangle BAC\) máme, že \(|\sphericalangle IED|=|\sphericalangle IAD|=|\sphericalangle IAE|=|\sphericalangle IDE|\). Ďalej si všimnime, že zo súčtu uhlov trojuholníka \(ABC\) vieme dostať \(2\textcolor[RGB]{74, 111, 216}{\sphericalangle}+2\textcolor[RGB]{227, 159, 60}{\sphericalangle}+2\textcolor[RGB]{129, 143, 61}{\sphericalangle}=180^\circ\iff\textcolor[RGB]{74, 111, 216}{\sphericalangle}+\textcolor[RGB]{227, 159, 60}{\sphericalangle}+\textcolor[RGB]{129, 143, 61}{\sphericalangle}=90^\circ\).

Pozrime sa ďalej na trojuholník \(BDX\). Aby sa jeho uhly nasčítali na \(180^\circ\), musí platiť \[|\sphericalangle BXD| = 180^\circ - |\sphericalangle BDX| - |\sphericalangle DBX| = 180^\circ - (90^\circ + \textcolor[RGB]{74, 111, 216}{\sphericalangle}) - \textcolor[RGB]{227, 159, 60}{\sphericalangle} = 90^\circ - \textcolor[RGB]{74, 111, 216}{\sphericalangle} - \textcolor[RGB]{227, 159, 60}{\sphericalangle} = \textcolor[RGB]{129, 143, 61}{\sphericalangle}.\]

To ale znamená, že \(|\sphericalangle EXI|=\textcolor[RGB]{129, 143, 61}{\sphericalangle}=|\sphericalangle ECI|\), a teda z obvodových uhlov nad tetivou \(EI\) máme, že \(EICX\) je tetivový. Potom ale \(|\sphericalangle BXC| = |\sphericalangle IXC|=|\sphericalangle IEC|=90^\circ\), a teda \(X\) leží na Tálesovej kružnici nad priemerom \(BC\).

To, že aj \(Y\) leží na Tálesovej kružnici nad \(BC\), ukážeme obdobne. Pozrime sa na trojuholník \(CEY\). Aby sa jeho uhly nasčítali na \(180^\circ\), musí platiť \[|\sphericalangle CYE| = 180^\circ - |\sphericalangle CEY| - |\sphericalangle ECY| = 180^\circ - (90^\circ + \textcolor[RGB]{74, 111, 216}{\sphericalangle}) - \textcolor[RGB]{129, 143, 61}{\sphericalangle} = 90^\circ - \textcolor[RGB]{74, 111, 216}{\sphericalangle} - \textcolor[RGB]{129, 143, 61}{\sphericalangle} = \textcolor[RGB]{227, 159, 60}{\sphericalangle}.\]

To ale znamená, že \(|\sphericalangle DYI|=180^\circ-\textcolor[RGB]{227, 159, 60}{\sphericalangle}=180^\circ-|\sphericalangle DBI|\), a teda z obvodových uhlov nad tetivou \(DI\) máme, že \(BDYI\) je tetivový. Potom ale \(|\sphericalangle BYC| = |\sphericalangle BYI|=|\sphericalangle BDI|=90^\circ\), a teda aj \(Y\) leží na Tálesovej kružnici nad priemerom \(BC\).

No, a tým padli už skoro všetky podstatné myšlienky riešenia. Síce sme sa ešte nepozreli na body pripísanej kružnice, no vpísaná a pripísaná kružnica majú veľmi podobné vlastnosti. Môžeme sa teda domnievať, že ak sa pokúsime zduplikovať vyššie uvedený postup aj pre body pripísanej kružnice, podarí sa nám úlohu doriešiť. Poďme sa o to pokúsiť.

Body súvisiace s pripísanou kružnicou

Keďže kružnica pripísaná k strane \(BC\) sa dotýka priamky \(AB\) v bode \(F\), musí byť \(FE_a\) kolmé na \(AB\). To ale znamená, že si bod \(F\) vieme predefinovať tak, že ide o pätu kolmice z bodu \(E_a\) na stranu \(AB\). Analogicky vieme \(G\) predefinovať ako pätu kolmice z \(E_a\) na \(AC\). To ale pre nás znamená, že pripísanú kružnicu môžeme úplne zahodiť, čím si opäť sprehľadníme obrázok.

Keďže \(|\sphericalangle AFE_a|=|\sphericalangle AGE_a|=90^\circ\), je štvoruholník \(AFE_aG\) tetivový. Potom ale z obvodových uhlov nad tetivami \(FE_a\) a \(GE_a\) a faktu, že \(E_a\) leží na osi uhla \(\sphericalangle BAC\) máme, že \(|\sphericalangle E_aGF|=|\sphericalangle E_aAF|=|\sphericalangle E_aAG|=|\sphericalangle E_aFG|\). Ďalej si všimnime, že zo súčtu uhlov trojuholníka \(ABC\) vieme dostať \(2\textcolor[RGB]{74, 111, 216}{\sphericalangle}+(180^\circ-2\textcolor[RGB]{227, 159, 60}{\sphericalangle})+(180^\circ-2\textcolor[RGB]{129, 143, 61}{\sphericalangle)}=180^\circ\iff\textcolor[RGB]{227, 159, 60}{\sphericalangle}+\textcolor[RGB]{129, 143, 61}{\sphericalangle}-\textcolor[RGB]{74, 111, 216}{\sphericalangle}=90^\circ\).

Pozrime sa ďalej na trojuholník \(BFZ\). Aby sa jeho uhly nasčítali na \(180^\circ\), musí platiť \[|\sphericalangle BZF| = 180^\circ - |\sphericalangle BFZ| - |\sphericalangle FBZ| = 180^\circ - (90^\circ - \textcolor[RGB]{74, 111, 216}{\sphericalangle}) - \textcolor[RGB]{227, 159, 60}{\sphericalangle} = 90^\circ + \textcolor[RGB]{74, 111, 216}{\sphericalangle} - \textcolor[RGB]{227, 159, 60}{\sphericalangle} = \textcolor[RGB]{129, 143, 61}{\sphericalangle}.\]

To ale znamená, že \(|\sphericalangle GZE_a|=\textcolor[RGB]{129, 143, 61}{\sphericalangle}=|\sphericalangle GCE_a|\), a teda z obvodových uhlov nad tetivou \(E_aG\) máme, že \(CGE_aZ\) je tetivový. Potom ale \(|\sphericalangle BZC| = 180^\circ-|\sphericalangle E_aZC|=180^\circ-|\sphericalangle E_aGC|=90^\circ\), a teda \(Z\) leží na Tálesovej kružnici nad priemerom \(BC\).

To, že aj \(W\) leží na Tálesovej kružnici nad \(BC\), ukážeme obdobne. Pozrime sa na trojuholník \(CGW\). Aby sa jeho uhly nasčítali na \(180^\circ\), musí platiť \[|\sphericalangle CWG| = 180^\circ - |\sphericalangle CGW| - |\sphericalangle GCW| = 180^\circ - (90^\circ - \textcolor[RGB]{74, 111, 216}{\sphericalangle}) - \textcolor[RGB]{129, 143, 61}{\sphericalangle} = 90^\circ + \textcolor[RGB]{74, 111, 216}{\sphericalangle} - \textcolor[RGB]{129, 143, 61}{\sphericalangle} = \textcolor[RGB]{227, 159, 60}{\sphericalangle}.\]

To ale znamená, že \(|\sphericalangle FWE_a|=180^\circ-\textcolor[RGB]{227, 159, 60}{\sphericalangle}=180^\circ-|\sphericalangle FBE_a|\), a teda z obvodových uhlov nad tetivou \(FE_a\) máme, že \(BFE_aW\) je tetivový. Potom ale \(|\sphericalangle BWC| = 180^\circ-|\sphericalangle BWE_a|=180^\circ-|\sphericalangle BFE_a|=90^\circ\), a teda aj \(W\) leží na Tálesovej kružnici nad priemerom \(BC\).

Máme teda, že \(W,X,Y,Z\) ležia všetky na Tálesovej kružnici nad priemerom \(BC\), čo sme chceli dokázať.

Čo ak by obrázok vyzeral inak?

Ak ste si porovnávali pasáže s bodmi vpísanej a pripísanej kružnice, asi ste si všimli, že sú skoro rovnaké, až na pár detailov – niekde sa namiesto \(\alpha\) dostalo \(180^\circ-\alpha\). To bolo spôsobené tým, že bod \(I\) bol medzi \(B\) a \(X\), kdežto vzhľadom na \(E_a\) sú \(B\) a \(Z\) na rovnakej „strane“ priamky. Môžete si preto premyslieť, že ak by bod \(X\) ležal vnútri úsečky \(DE\) (resp. bod \(Y\) mimo nej), tiež by sa nám takto mierne pozmenil dôkaz, no fungoval by stále – totiž, bod \(X\) by síce prešiel na druhú stranu bodu \(E\), a teda by \(|\sphericalangle EXI|=180^\circ-\textcolor[RGB]{129, 143, 61}{\sphericalangle}\), avšak prejde aj na druhú stranu tetivy \(EI\), kvôli čomu sa prevráti cez \(180^\circ\) aj obvodový uhol.