10. Kopeme Mesto Stratené vzorové riešenie

Na začiatok si predstavíme veľmi užitočnú vlastnosť funkcií, ktorá sa často využíva pri riešení funkcionálnych rovníc – prostosť – a povieme si, prečo sa zväčša potešíme, keď túto vlastnosť o našej hľadanej funkcií zistíme. Ak presne viete, čo tu idem teraz napísať, pokojne tento odstavec preskočte. Funkcia \(f\) (napríklad taká, ktorá rieši našu rovnicu zo zadania) sa nazýva prostá, ak pre všetky \(x, y\) z definičného oboru funkcie¹ platí: \(f(x)=f(y) \implies x=y\). Slovne: funkcia \(f\) je prostá ak žiadne jej dva rôzne vstupy nemajú rovnakú funkčnú hodnotu. Prečo je táto vlastnosť tak super pri funkcionálnych rovniciach? Predpokladajme, že sa nám pri riešení podarí dopracovať k vzťahu: \(f(\text{výraz 1})=f(\text{výraz 2}).\) Potom využitím definičnej vlastnosti prostosti vieme povedať, že \(\text{výraz 1}=\text{výraz 2}.\) Týmto sme sa zbavili nepríjemnej “šupky” a dostali sme sa k plodom. Rovnosť takýchto dvoch vstupov do funkcie \(f\) nám často odhalí veľmi zjednodušené, často kľúčové tvrdenie. Ak si to neviete predstaviť v praxi, stačí pokračovať v čítaní tohto riešenia.

Teraz, keď už vieme, že prostosť je sexi, pokúsime sa ju v tejto úlohe získať. Nanešťastie, nebude to také jednoduché, lebo po chvíli hrania sa so zadaním si ľahko všimneme, že funkcia \(f(x)=1\) vyhovuje zadaniu (ako jediná úplne konštantná funkcia). Naša funkcia teda nemôže byť prostá bez dodatočných trikov. Ukážeme teda, že ak funkcia \(f\) nie je prostá, potom musí spĺňať \(f(x)=1\). Potom budeme môcť vylúčiť tento prípad tým, že budeme predpokladať, že funkcia je prostá, a zistíme, či sa dopracujeme k nejakému ďalšiemu riešeniu.

Nech teda existujú \(a < b\) také, že \(f(a)=f(b).\) Pozrieme sa, čo z tohto bude vyplývať. Všimnime si, že v ľavej strane našej rovnice vystupuje člen \(x\) vždy iba sám vo funkcií \(f\). Teda by sme mohli vstupy \(a, b\) oba postupne dosadiť za \(x\), kým \(y\) necháme „voľné“, aby sme na ľavej strane dospeli k rovnakému výrazu. Dostávame

\[f(f(a)+y)f(a)=f(ay+1),\]

ako aj

\[f(f(b)+y)f(b)=f(by+1).\]

Vidíme, že ľavé strany sa rovnajú, a teda pre každé \(y \in \mathbb{R}^+\) máme \(f(ay+1)=f(by+1).\) Toto je v podstate veľmi silné tvrdenie – dáva nám to do rovnosti funkčné hodnoty nekonečného množstva rôznych dvojíc vstupov. Napríklad si môžeme všimnúť, že z ľubovoľného \(z > 1\) vieme pomocou tejto rovnosti „skákať“ dole alebo hore a vytvoriť tak postupnosť rôznych čísel, ktorá má celá rovnakú funkčnú hodnotu. Ako? Stačí položiť do rovnosti \(ay+1=z\) a vyriešiť pre \(y\). Vieme, že riešenie existuje v našom definičnom obore, lebo \(z > 1\). Potom dosadíme túto hodnotu \(y\) do výrazu \(by+1\) a dostaneme \(z^\prime > z\) také, že \(f(z)=f(z^\prime).\) Potom presadením \(z\) za \(z^\prime\) a zopakovaním tohto procesu dostaneme danú rovnosť opäť, tentoraz pre pôvodné \(z^\prime\), teraz \(z\), a nové, ešte väčšie \(z^\prime\). A takto to opakovať donekonečna. Podobne, ak by sme postupovali rovnako až na to, že by sme riešili \(by+1=z\) a potom dosádzali do \(ay+1\), dostali by sme nekonečnú postupnosť večne sa približujúcu k 1 zhora, ktorá by celá dosahovala rovnakú funkčnú hodnotu po dosadení do \(f\).

Čo s tým ale vieme spraviť? Žiaľ, po chvíľke zamyslenia si uvedomíme, že takýmto spôsobom by sme vytvorili nekonečne veľa postupností, o ktorých by sme vedeli, že majú rovnakú funkčnú hodnotu, ale nevedeli by sme hneď tieto postupnosti prepojiť. Kľúčové pozorovanie je, že ak pre \(a, b\) platí \(f(a)=f(b)\), potom využitím práve vzťahu \(f(ay+1)=f(by+1)\) vieme (takmer) ľubovoľnou voľbou \(y\) dostať nový pár \(a^\prime, b^\prime\) taký, že: \(f(a^\prime)=f(b^\prime)\). Načo je nám dobré získať nový takýto pár? Podstatné je, že \(\frac{b^\prime}{a^\prime} \in \left(1, \frac{b}{a}\right),\) a zároveň, že ľubovoľnú hodnotu zlomku \(\frac{b^\prime}{a^\prime}\) v tomto intervale vieme dosiahnuť vhodnou voľbou \(y\). To sa dá vidieť vyriešením rovnice, v ktorej položíme \(\frac{b^\prime}{a^\prime}\) rovné ľubovoľnému číslu z daného intervalu.

Majme teraz ľubovoľný pár \(1 < z < w\). Ak zvolíme \(y\) tak, aby \(by+1=w\), vidíme, že \(y=(w-1)/b\). Dosadiac to do \(ay+1\) získame hodnotu \((w-1)a/b+1.\) Pozrime sa teraz na pomer \(w\) a \((w-1)a/b+1\) po odčítaní 1 od oboch:

\[\frac{w-1}{(w-1)a/b+1-1}=\frac{b}{a}.\] Preto z pohľadu 1, pomer týchto dvoch čísel je \(\frac{b}{a}\). Keby sme si teda číslo 1 predstavili ako 0 a čísla väčšie ako 1 ako kladné čísla, potom pomer medzi dvomi po sebe idúcimi členmi takto vzniknutej postupnosti je presne \(\frac{b}{a}.\) Ak \(\frac{b}{a}=\sqrt[k]{\frac{w-1}{z-1}}\) pre nejaké prirodzené \(k\), potom postupným skákaním smerom dolu spôsobom, ako sme to robili doteraz, získame \(f(w)=f(z).\) Toto avšak nemusí platiť. Našťastie, práve preto je pozorovanie o získaní nového páru \(f(a^\prime)=f(b^\prime)\) také užitočné. Ak \(\frac{b}{a}\neq\sqrt[k]{\frac{w-1}{z-1}},\) stačí zobrať dostatočne vysoké \(k\), zvoliť \(q=\sqrt[k]{\frac{w-1}{z-1}}<\frac{b}{a}\) a potom nájsť také \(y\), že \(\frac{by+1}{ay+1}=q.\) Z toho získavame \(f(w)=f(z).\)

Nakoľko sme na začiatku tejto konštrukcie nekládli žiadne podmienky na \(z, w\) okrem toho, že sú väčšie ako 1, dostávame túto rovnosť pre všetky vstupy väčšie ako 1. Teda naša funkcia \(f\) je konštantná na celom intervale \((1, \infty)\). Označme si jej funkčnú hodnotu \(c\). Dosaďme teraz do našej rovnice \(1<z,w\) za \(x,y\). Dostaneme

\[f(f(z)+w)f(z)=f(zw+1).\]

Po zvážení, že všetky vstupy vonkajších funkcií budú väčšie ako \(1\), získavame \(c^2=c\), z čoho vyplýva \(c=1\). Teraz dosaďme \(z \le 1 < w\), \(z\) za \(x\) a \(w\) za \(y\). Dostaneme:

\[f(f(z)+w)f(z)=f(zw+1).\]

Po zvážení, že vstup prvej funkcie na ľavej strane a funkcie na pravej strane sú väčšie ako 1 získavame \(f(z)=1\). Takto sme teda dostali vzťah \(f(x)=1\) pre všetky možné vstupy, čím sa nám úspešne podarilo ukázať, čo sme pôvodne chceli.

Teraz už môžeme konečne predpokladať, že funkcia \(f\) je prostá. Nanešťastie, naša rovnica obsahuje tri rôzne \(f()\) výrazy, a teda náš trik so škrtaním \(f\) popísaný v prvom odstavci nemôžeme hneď použiť. Musíme sa vhodnými dosadeniami zbaviť niektorej z týchto funkcií – napríklad tak, že ukážeme, že pre dané dosadenie je rovná 1. Zatiaľ však nemáme dostatok informácií o našej \(f\), aby sme také niečo mohli spraviť. Všimnime si ale, že \(f(x)\) a \(f(xy+1)\) by sme vedeli škrtnúť, ak by platilo \(x=xy+1.\) Toto vskutku vieme dosiahnuť voľbou \(y=\frac{x-1}{x},\) pokiaľ \(x>1.\) Potom dostaneme, po škrtnutí týchto dvoch funkcií

\[f\left(f(x)+\frac{x-1}{x}\right)=1.\]

Označme si \(a := f(x)+\frac{x-1}{x}.\) Potom vidíme, že \(f(a)=1\). Našli sme teda vstup, ktorý budeme vedieť dosadiť do \(f\) tak, aby sme sa \(f\) zbavili. Dosaďme teda (celkom prirodzene) \(a\) za \(x\) a \(y\) nechajme voľné. Po škrtnutí \(f(a)\) dostaneme

\[f(1+y)=f(ay+1),\]

z čoho okamžite vidíme \(a=1\) po použití nášho škrtacieho triku. Z prostosti \(f\) tiež vieme, že \(a\) je jediný vstup, ktorého funkčná hodnota je 1. My však tiež vieme, čo sme si ako \(a\) označili. Dostávame, že \(f(x)+\frac{x-1}{x}=a=1.\) Teda máme, že \(f(x)+\frac{x-1}{x}=1,\) čo sa po úprave zmení na \(f(x)=\frac{1}{x}.\) Spomeňme si, že \(x\) bolo voľné až na to, že sme chceli \(x>1\). Máme teda \(f(x)=\frac{1}{x}\) pre všetky \(x>1\). Zvoľme teraz už len \(x\le1=y\) a využime náš zistený vzťah. Po dosadení dostaneme: \[\frac{f(x)}{f(x)+1}=\frac{1}{x+1},\] čo po úprave znamená: \(f(x)=\frac{1}{x}\). Máme teda \(f(x)=\frac{1}{x}\) pre všetky \(x\). Dopracovali sme sa tak k jedinému ďalšiemu kandidátovi na riešenie našej úlohy. Po dosadení všeobecných argumentov \(x,y\) do našej zadanej rovnice a overení tejto funkcie zisťujeme, že skutočne taká funkcia rieši našu rovnicu.

Teda jedinými riešeniami našej rovnice sú funkcie \(f(x)=1\) a \(f(x)=\frac{1}{x}.\)