Zadanie
Žirafka Kubko bola, ako každý štvrtok večer, v kasíne na dámskych sprchách zahrať si kocky. Avšak tento štvrtok tam nebola žiadna konkurencia. Kubka to úplne zarmútilo, ako si má žirafka zahrať hazard, keď má výhru skoro istú. A tak sa radšej išla hrať s \(n\) kockami. Keď si z nich všetkých chcela postaviť štvorec (t. j. kváder \(1 \times a \times a\) pre nejaké prirodzené číslo \(a\)), zistila, že jej jedna chýba. Keď si z nich chcela postaviť kocku, opäť jej jedna chýbala. Ukážte, že \(n\) nie je prvočíslo.
Zapíšme si, čo nám hovorí zadanie. \(n\) kocočiek sme (skoro) poukladali do štvorca, ale jedna chýbala. Teda ak \(a\) je strana tohto štvorca, tak platí \(n=a^2-1\). Obdobne sme kocočky (skoro) poukladali do väčšej kocky, len jedna chýbala. Keď označíme stranu kocky \(b\), tak platí \(n=b^3-1\). (Obe \(a\) aj \(b\) sú prirodzené čísla.)
Keď už máme aspoň trošku skúseností s výrazmi a vzorčekmi, ľahko si uvedomíme, že platí \(a^2-1=(a-1)(a+1)\). Teda číslo \(n\) vieme zapísať ako súčin dvoch prirodzených čísel. Ak by bolo \(n\) prvočíslo, tak jedno z nich musí byť \(1\). Nutne to musí byť \(a-1\), lebo je z tých dvoch menšie. Preto \(a=2\) a \(n=3\).
Máme však aj druhú rovnosť, a to že \(n=b^3-1\) pre nejaké prirodzené \(b\). V našom prípade by tak malo platiť \(b^3=4\), avšak také \(b\) zjavne nie je prirodzené. Teda ten jediný prípad, kedy je \((a-1)(a+1)\) prvočíslo, nevyhovuje druhej podmienke, a tak \(n\) je vždy zložené.
Diskusia
Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.
Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.