2. Kde Most Stavať? $\left(\kappa \le 2\right)$ vzorové riešenie

Zadanie

Žirafka Pedro sa potulovala po svojom obdĺžnikovom výbehu, keď tu si všimla, že jej výbehom prechádza rieka, ktorá tam nikdy predtým nebola. Podišla bližšie, aby ju mohla preskúmať.

Brehy riek sa tiahli rovno od protiľahlých vrcholov kolmo na uhlopriečku výbehu spájajúcu ostatné dva vrcholy až ku protiľahlým stranám, ako na obrázku 1 (obrázok je len ilustračný). Akú časť Pedrovho výbehu zaberala rieka, ak boli rozmery výbehu \(30\text{ m} \times 40\text{ m}\)?

Začnime tým, že si v obrázku pomenujeme potrebné body.

Uvedomme si, že keďže bod \(X\), ktorý vznikol pomocou kolmice na uhlopriečku \(DB\), sa nachádza na úsečke \(CD\), tak potom úsečka \(CD\) musí byť dlhšia strana obdĺžnika. Označme si teda v našom obrázku aj dĺžky strán.

Následne si v ňom označíme \(|\sphericalangle ABD| = \alpha\) a za tým zo súčtu uhlov trojuholníka \(ABD\) vieme, že \(|\sphericalangle ADB| = 180^\circ-|\sphericalangle BAD|-|\sphericalangle ABD| = 180^\circ-90^\circ-\alpha=90^\circ - \alpha\). Potom si vieme dopočítať uhol \(\sphericalangle BDC\) ako \(90^\circ - |\sphericalangle ADB| = \alpha\). Ďalej vidíme, že uhlopriečka \(BD\) nám zviera \(90^\circ\) uhol s úsečkou \(AX\), teda nám vznikajú 2 pravouhlé trojuholníky s dvomi uhlami, v ktorých si ľahko dopočítame tretí.

Keďže úsečky \(AX\) a \(YC\) sú obe kolmé na uhlopriečku \(BD\), tak musia byť navzájom rovnobežné, taktiež vieme, že úsečky \(AY\) a \(XC\) sú navzájom rovnobežné, a teda celý štvoruholník \(AXCY\) musí byť rovnobežník. Teraz si na obrázku môžeme rýchlo všimnúť, že na základe vety \(uu\) sú trojuholníky \(\triangle ABD \sim \triangle DAX\) podobné.

Zistime si teda koeficient podobnosti \(k\) a na základe známych dĺžok strán dopočítame \(|DX|\). \[\begin{align} k = \frac{|AB|}{|AD|} &= \frac{|AD|}{|DX|},\\ k = \frac{\SI{40}{\metre}}{\SI{30}{\metre}} &= \frac{\SI{30}{\metre}}{|DX|},\\ |DX| &= \frac{\SI{30}{\metre} \cdot \SI{30}{\metre}}{\SI{40}{\metre}},\\ |DX| &= \SI{22.5}{\metre}.\end{align}\]

Keďže \(|DC| = \SI{40}{\metre}\) a \(|DX| = \SI{22.5}{\metre}\), tak potom \(|XC| = \SI{40}{\metre} - \SI{22.5}{\metre} = \SI{17.5}{\metre}\). Obsah rieky teda vypočítame ako podstava krát výška. \[S_{\text{rieka}} = |XC| \cdot |BC| = \SI{17.5}{\metre} \cdot \SI{30}{\metre} = \SI{525}{\metre\squared}.\] Obsah celej záhrady je \[S = |AB| \cdot |BC| = \SI{40}{\metre} \cdot \SI{30}{\metre} = \SI{1200}{\metre\squared}\]

Celá rieka zaberá \(\frac{S_{\text{rieka}}}{S} = \frac{\SI{525}{\metre\squared}}{\SI{1200}{\metre\squared}} = \frac{7}{16}\) záhrady.