Zadanie

Žirafka Viktor sa rozhodla, že sa pôjde kúpať do Bermudského trojuholníka. Keď vyliezla z vody, všimla si na sebe niečo podivné. Namiesto zvyčajných škvŕn mala zrazu po celom tele nekonvexné trolluholníky. Nevedela, čo s tým spraviť, tak sa išla poradiť za miestnou čarodejnicou Kajou. Tá jej povedala, že jediný spôsob ako to vyliečiť, je vyriešiť nasledujúcu úlohu.

V ostrouhlom trojuholníku \(ABC\) označme \(D\) pätu výšky na stranu \(BC\). Zvoľme bod \(G\) ľubovoľne na úsečke \(AD\). Ďalej označíme \(X\) pätu kolmice z bodu \(A\) na priamku \(BG\) a \(Y\) pätu kolmice z \(A\) na \(CG\). Dokážte, že body \(B,\, C,\, X,\, Y\) ležia na kružnici.

Dokázať, že štyri body sú na kružnici vieme napríklad tak, že nájdeme dva uhly nad spoločnou úsečkou so zhodnou veľkosťou. Poďme sa teda pozrieť na niektorý z takýchto uhlov v štvoruholníku \(BCXY\).

Pri riešení úlohy by sme takisto chceli využiť aj informácie o pravých uhloch zo zadania. Po preskúmaní náčrtu si môžeme všimnúť, že trojuholníky \(GDB\) a \(GXA\) zdieľajú jeden vrcholový a jeden pravý uhol, čiže sú si podobné. Z toho vieme určiť aj rovnosť uhlov \(\sphericalangle DBG\) a \(\sphericalangle GAX\).

Ďalšie dôležité pozorovanie vieme spraviť pri štvoruholníku \(AYGX\). Protiľahlé uhly pri vrcholoch \(Y\) a \(X\) sú oba pravé a dávajú dokopy \(180^\circ\), čím robia zo štvoruholníka \(AYGX\) tetivový štvoruholník. Tým pádom vieme povedať, že uhly \(\sphericalangle GAX\) a \(\sphericalangle XYG\) sú zhodné, nakoľko sú to obvodové uhly.

Spojením predchádzajúcich dvoch rovností dostávame taktiež rovnosť uhlov \(\sphericalangle CBX\) a \(\sphericalangle CYX\). Nakoľko tieto dva uhly sú nad spoločnou úsečkou \(CX\), sú tieto dva uhly obvodové a body \(B,\, C,\, X,\, Y\) ležia na kružnici.

Iné riešenie

Zo zadania vyplýva istá symetria konfigurácie cez výšku \(AD\). Rovnakým postupom by sme sa vedeli dopracovať k rovnosti uhlov \(\sphericalangle YCB\) a \(\sphericalangle YXB\), čím by sme taktiež dospeli k rovnakému výsledku.

Diskusia

Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.

Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.